Enunciado

No problema 31 determine a equação do movimento supondo que a força externa é f t = e - t s e n 4 t . Analise o deslocamento para t →   \ i n i f i t o .

Passo 1

Faaaala, cara! Tranquileba?

No problema 31 tínhamos a seguinte equação:

x ' ' + 8 x ' + 1 2 x = 8 s e n ( 4 t )

Agora para este caso, temos que:

x ' ' + 8 x ' + 1 2 x = e - t s e n ( 4 t )

Passo 2

A EDO acima é caracterizada como de segunda ordem, não homogênea e de coeficientes não constantes. EDO’s desse tipo tem como solução a soma de duas soluções chamadas de solução particular x h t e solução homogênea x h t . Para nós, físicos, geralmente chamada de solução transiente/transitória ( x h t ) e solução estacionária ( x p ( t ) ) .

Assim para x h :

x ' ' + 8 x ' + 1 2 x = 0

Façamos x = e λ t ; x ' = λ e λ t ; x ' ' = λ 2 e λ t

Logo:

e λ t λ 2 + 8 λ + 1 2 = 0

λ 2 + 8 λ + 1 2 = 0

λ = - 8 ±   8 2 - 2 2

λ = - 4 ± 8 2 2 - 2 2 2

Estamos em frente à um sistema com amortecimento supercrítico, pois β 2 2 > ω o 2 ,

ou seja, o amortecimento é maior que a frequência do sistema.

Assim:

x h t = c 1 e - 4 + 8 2 2 - 2 2 2 t   + c 2 e - 4 - 8 2 2 - 2 2 2   t

Resposta

x h t = c 1 e - 4 + 8 2 2 - 2 2 2 t   + c 2 e - 4 - 8 2 2 - 2 2 2   t

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