No problema 12, calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado, esquematize o gráfico e mostre a reta tangente no ponto.

f(x) = x^3 em (-1, -1)

Passo 1

Podemos obter a inclinação da reta tangente, m , de uma curva qualquer através da definição de derivada:

m   = l i m Δ x   → 0 f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x

em que podemos identificar que o ponto indicado no enunciado P , é construído da seguinte forma:

P   =   ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( - 1 , - 1 )

Passo 2

Temos então:

f ( x 1 + Δ x ) = ( - 1 + Δ x ) 3

De forma que:

m   =   l i m Δ x   → 0   ( - 1 + Δ x ) 3 - ( - 1 ) Δ x = l i m Δ x → 0 ( Δ x - 1 ) 3 + 1 Δ x

Passo 3

Expandindo o produto notável temos:

m   =   l i m Δ x   → 0   Δ x 3 - 3 Δ x 2 + 3 Δ x - 1 + 1 Δ x = l i m Δ x → 0 Δ x 3 - 3 Δ x 2 + 3 Δ x Δ x

Simplificando os Δ x temos:

m   =   l i m Δ x   → 0   Δ x 2 - 3 Δ x + 3 =   3

O comportamento da reta tangente é tal que:

Resposta

Portanto:

m   = 3

O gráfico está ao final do passo 3.