No problema 14, calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado, esquematize o gráfico e mostre a reta tangente no ponto.

f(x) = 1 / raiz(x) em (4, 1 / 2)

Passo 1

Podemos obter a inclinação da reta tangente, m , de uma curva qualquer através da definição de derivada:

m   = l i m Δ x   → 0 f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x

em que podemos identificar que o ponto indicado no enunciado P , é construído da seguinte forma:

P   =   ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( 4 , 1 2 )

Passo 2

Temos então:

f ( x 1 + Δ x ) = 1 4 + Δ x

De forma que:

m   =   l i m Δ x   → 0   1 4 + Δ x - 1 2 Δ x = l i m Δ x   → 0 1 Δ x 4 + Δ x ( 1 - 1 2 4 + Δ x )

Passo 3

Precisamos multiplicar o numerador e denominador pelo termo:

1 + 1 2 4 + Δ x

Obtendo:

m   =   l i m Δ x → 0 1 Δ x 4 + Δ x ( 1 - 1 2 4 + Δ x ) ( 1 + 1 2 4 + Δ x ) ( 1 + 1 2 4 + Δ x ) = l i m Δ x → 0 1 - 1 4 ( 4 + Δ x ) Δ x 4 + Δ x ( 1 + 1 2 4 + Δ x )

m   = l i m Δ x → 0 - 1 4 Δ x Δ x 4 + Δ x ( 1 + 1 2 4 + Δ x )  

Simplificando os Δ x temos:

m   =   l i m Δ x   → 0   - 1 4 [ 4 + Δ x ( 1 + 1 2 4 + Δ x   ) ]   =   - 1 4 [ 4 ( 1 + 1 2 4 ) ] = - 1 16

A reta tangente tem o seguinte comportamento:

Resposta

Portanto:

m   = - 1 16

O gráfico está no final do passo 3.