No problema 13, calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado, esquematize o gráfico e mostre a reta tangente no ponto.

f(x) = 3 + 2x - x^2 em (0,3)

Passo 1

Podemos obter a inclinação da reta tangente, m , de uma curva qualquer através da definição de derivada:

m   = l i m Δ x   → 0 f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x

em que podemos identificar que o ponto indicado no enunciado P , é construído da seguinte forma:

P   =   ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( 0,3 )

Passo 2

Temos então:

f ( x 1 + Δ x ) = f ( Δ x ) = 3 + 2 ( Δ x ) - Δ x 2

De forma que:

m   =   l i m Δ x   → 0   3   + 2 Δ x   -   Δ x 2 - 3 Δ x = l i m Δ x → 0 2 Δ x - Δ x 2 Δ x

Passo 3

Simplificando os Δ x temos:

m   =   l i m Δ x   → 0   2   -   Δ x   =   2

A reta tangente tem o seguinte comportamento:

Resposta

Portanto:

m   =   l i m Δ x → 0 Δ x 2 - 3 Δ x + 3 = 3

O gráfico está no final do passo 3.