No problema 15, calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado, esquematize o gráfico e mostre a reta tangente no ponto.

f(x) = raiz(x + 1) em (3,2)

Passo 1

Podemos obter a inclinação da reta tangente, m , de uma curva qualquer através da definição de derivada:

m   = l i m Δ x   → 0 f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x

em que podemos identificar que o ponto indicado no enunciado P , é construído da seguinte forma:

P   =   ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( 3,2 )

Passo 2

Temos então:

f ( x 1 + Δ x ) = 3 + Δ x + 1 = 4 + Δ x

De forma que:

m   =   l i m Δ x   → 0   4 + Δ x - 2 Δ x

Passo 3

Precisamos multiplicar o numerador e denominador pelo termo:

4 + Δ x + 2

Obtendo:

m   =   l i m Δ x → 0 4 + Δ x - 2 Δ x 4 + Δ x + 2 4 + Δ x + 2 = l i m Δ x → 0 4 + Δ x - 4 Δ x ( 4 + Δ x + 2 ) = l i m Δ x → 0 Δ x Δ x ( 4 + Δ x + 2 )

Simplificando os Δ x temos:

m   =   l i m Δ x   → 0   1 4 + Δ x + 2 = 1 4

A reta tangente tem o seguinte comportamento:

Resposta

Portanto:

m   = 1 4

O gráfico está no final do passo 3.