No problema 16, calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado, esquematize o gráfico e mostre a reta tangente no ponto.

f(x) = raiz(9 - 4x) em (-4,5)

Passo 1

Podemos obter a inclinação da reta tangente, m , de uma curva qualquer através da definição de derivada:

m   = l i m Δ x   → 0 f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x

em que podemos identificar que o ponto indicado no enunciado P , é construído da seguinte forma:

P   =   ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( - 4,5 )

Passo 2

Temos então:

f ( x 1 + Δ x ) = 9   -   4 ( - 4 + Δ x ) = 25 - 4 Δ x

De forma que:

m   =   l i m Δ x   → 0   25   -   4 Δ x - 5 Δ x

Passo 3

Precisamos multiplicar o numerador e denominador pelo termo:

25 - Δ x + 5

Obtendo:

m   =   l i m Δ x → 0 25   -   4 Δ x - 5 Δ x 25 - 4 Δ x + 5 25 - 4 Δ x + 5 = l i m Δ x → 0 25   -   4 Δ x - 25 Δ x ( 25 - 4 Δ x + 5 ) = l i m Δ x → 0 - 4 Δ x Δ x ( 25 - 4 Δ x + 5 )

Simplificando os Δ x temos:

m   =   l i m Δ x   → 0   - 4 25 - 4 Δ x + 5 = - 4 10 = - 2 5

A reta tangente tem o seguinte comportamento:

Resposta

Portanto:

m   = - 2 5

O gráfico está no final do passo 3.