No problema 9, calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado, esquematize o gráfico e mostre a reta tangente no ponto.

f(x) = 2x - x^2 em (1,1)

Passo 1

Podemos obter a inclinação da reta tangente, m , de uma curva qualquer através da definição de derivada:

m   = l i m Δ x   → 0 f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x

em que podemos identificar que o ponto indicado no enunciado P , é construído da seguinte forma:

P   =   ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( 1,1 )

Passo 2

Temos então:

f ( x 1 + Δ x ) = 2 ( 1 + Δ x ) - ( 1 + Δ x ) 2

De forma que:

m   =   l i m Δ x   → 0   2 ( 1 + Δ x ) - ( 1 + Δ x ) 2 - 1 Δ x

Passo 3

Expandindo o produto notável temos:

m   =   l i m Δ x   → 0   2 + 2 Δ x - 1 - 2 Δ x -   Δ x 2 - 1 Δ x = l i m Δ x → 0 - Δ x 2 Δ x

Simplificando os Δ x temos:

m   =   l i m Δ x   → 0   - Δ x = 0

A reta tangente tem o seguinte formato:

Resposta

Portanto:

m   = 0

O gráfico está ao final do Passo 3.