No problema 15, calcule a derivada da função com auxílio da regra da cadeia.

f(x) = (3x + 1 / x)^2 (6x - 1)^5

Passo 1

Aplicando inicialmente a regra de Leibniz (Regra do produto), temos:

d f ( x ) d x =   d d x ( 3 x + 1 x ) 2 ( 6 x - 1 ) 5 + ( 3 x + 1 x ) 2 d d x ( 6 x - 1 ) 5

Identificando que 3 x + 1 x pode ser interpretado como uma função u , e que 6 x - 1 pode ser identificado como uma função v podemos aplicar a regra da cadeia como:

d f ( x ) d x = d d u ( u 2 ) d d x ( 3 x + 1 x ) ( 6 x - 1 ) 5 + ( 3 x + 1 x ) 2 d d v ( v 5 ) d d x ( 6 x - 1 )

Passo 2

Aplicando a regra da potência na derivada em u e na derivada em v , e a regra da soma nas derivadas em t , temos que:

d f ( x ) d x = ( 2 u 2 - 1 ) ( d d x ( 3 x ) + d d x ( 1 x ) ) ( 6 x - 1 ) 5 + ( 3 x + 1 x ) 2 ( 5 v 5 - 1 ) ( d d x ( 6 x ) + d d x ( - 1 ) )  

Passo 3

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes da derivada (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da potência e da identidade, temos:

d f ( x ) d x = 2 u ( 3 ( 1 ) - 1 x - 2 ) ( 6 x - 1 ) 5 + ( 3 x + x - 1 ) 2 5 v 4 ( 6 ( 1 ) )

em que identifique 1 x = x - 1 . Simplificando:

d f ( x ) d x = 2 u ( 3 - 1 x 2 ) ( 6 x - 1 ) 5 + 30 v 4 ( 3 x + 1 x ) 2

Passo 4

Substituindo o valor de v e de u , temos que:

  d f ( x ) d x = 2 ( 3 x + 1 x ) ( 3 - 1 x 2 ) ( 6 x - 1 ) 5 + 30 ( 6 x - 1 ) 4 ( 3 x + 1 x ) 2

Simplificando esta expressão:

d f ( x ) d x = ( 3 x + 1 x ) ( 6 x - 1 ) 4 ( 2 ( 3 - 1 x 2 ) ( 6 x - 1 ) + 30 ( 3 x + 1 x ) )

d f ( x ) d x = ( 3 x + 1 x ) ( 6 x - 1 ) 4 ( 2 ( 18 x - 3 - 6 x + 1 x 2 ) + 90 x + 30 x )

d f ( x ) d x = ( 3 x + 1 x ) ( 6 x - 1 ) 4 ( 36 x - 6 - 12 x + 2 x 2 + 90 x + 30 x )

Resposta

Finalmente:

d f ( x ) d x   = ( 3 x + 1 x ) ( 6 x - 1 ) 4 ( 126 x - 6 + 18 x + 2 x 2 )