No problema 13, calcule a derivada da função com auxílio da regra da cadeia.

g(x) = (3*x^2 + 7)^2 * (5 - 3*x)^3

Passo 1

Aplicando inicialmente a regra de Leibniz (Regra do produto), temos:

d g ( x ) d x =   d d x ( 3 x 2 + 7 ) 2 ( 5 - 3 x ) 3 + ( 3 x 2 + 7 ) 2 d d x ( 5 - 3 x ) 3

Identificando que 3 x 2 + 7 pode ser interpretado como uma função u , e que 5 - 3 x pode ser identificado como uma função v podemos aplicar a regra da cadeia como:

d g ( x ) d x = d d u ( u 2 ) d d x ( 3 x 2 + 7 ) ( 5 - 3 x ) 3 + ( 3 x 2 + 7 ) 2 d d v ( v 3 ) d d x ( 5 - 3 x )

Passo 2

Aplicando a regra da potência na derivada em u e na derivada em v , e a regra da soma nas derivadas em x , temos que:

d g ( x ) d x = ( 2 u 2 - 1 ) ( d d x ( 3 x 2 ) + d d x ( 7 ) ) ( 5 - 3 x ) 3 + ( 3 x 2 + 7 ) 2 ( 3 v 3 - 1 ) ( d d x ( 5 ) + d d x ( - 3 x ) )  

Passo 3

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes da derivada (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da potência e da identidade, temos:

d g ( x ) d x = 2 u ( 3 ( 2 x 2 - 1 ) ) ( 5 - 3 x ) 3 + ( 3 x 2 + 7 ) 2 3 v 2 ( - 3 ( 1 ) )

d g ( x ) d x = 12 u x ( 5 - 3 x ) 3 - 9 v 2 ( 3 x 2 + 7 ) 2

Passo 4

Substituindo o valor de v e de u , temos que:

  d g ( x ) d x = 12 x ( 3 x 2 + 7 ) ( 5 - 3 x ) 3 - 9 ( 5 - 3 x ) 2 ( 3 x 2 + 7 ) 2

Simplificando esta expressão:

d g ( x ) d x = ( 3 x 2 + 7 ) ( 5 - 3 x ) 2 ( 12 x ( 5 - 3 x ) - 9 ( 3 x 2 + 7 ) )

d g ( x ) d x = ( 3 x 2 + 7 ) ( 5 - 3 x ) 2 ( 60 x - 36 x 2 - 27 x 2 - 63 )

Resposta

Finalmente:

d g ( x ) d x   = ( 3 x 2 + 7 ) ( 5 - 3 x ) 2 ( - 63 x 2 + 60 x - 63 )