No problema 19, calcule a derivada da função com auxílio da regra da cadeia.

f(x) = ((x^2 + x) / (1 - 2x))^4

Passo 1

Note que é possível aplicar a regra do quociente para resolver esta derivada, no entanto esta seção do livro indica o uso da regra de Leibniz e a regra da cadeia, portanto vamos reescrevê-la da seguinte forma:

f ( x )   =   ( x 2 + x ) 4 ( 1 - 2 x ) - 4

Lembrando que ( 1 - 2 x ) - 4 = 1 ( 1 - 2 x ) 4 .

Passo 2

Aplicando inicialmente a regra de Leibniz (Regra do produto), temos:

d f ( x ) d x =   d d x ( x 2 + x ) 4 ( 1 - 2 x ) - 4 + ( x 2 + x ) 4 d d x ( 1 - 2 x ) - 4

Identificando que x 2 + x pode ser interpretado como uma função w , e que 1 - 2 x pode ser identificado como uma função v podemos aplicar a regra da cadeia como:

d f ( x ) d x = d d w ( w 4 ) d d x ( x 2 + x ) ( 1 - 2 x ) - 4 + ( x 2 + x ) 4 d d v ( v - 4 ) d d x ( 1 - 2 x )

Passo 3

Aplicando a regra da potência na derivada em w e na derivada em v , e a regra da soma nas derivadas em x , temos que:

d f ( x ) d x = ( 4 w 4 - 1 ) ( d d x ( x 2 ) + d d x ( x ) ) ( 1 - 2 x ) - 4 + ( x 2 + x ) 4 ( - 4 v - 4 - 1 ) ( d d x ( 1 ) + d d x ( - 2 x ) )  

Passo 4

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes da derivada (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da potência e da identidade, temos:

d f ( x ) d x = 4 w 3 ( 2 ( x 2 - 1 ) + ( 1 ) ) ( 1 - 2 x ) - 4 + ( x 2 + x ) 4 ( - 4 v - 5 ) ( - 2 ( 1 ) )

Passo 5

Substituindo o valor de v e de w , temos que:

  d f ( x ) d x = 4 ( x 2 + x ) 3 ( 2 x + 1 ) ( 1 - 2 x ) - 4 + 8 ( 1 - 2 x ) - 5 ( x 2 + x ) 4

Simplificando esta expressão:

d f ( x ) d x = 4 ( 1 - 2 x ) - 5 ( x 2 + x ) 3 ( ( 2 x + 1 ) ( 1 - 2 x ) + 2 ( x 2 + x ) )

d f ( x ) d x = 4 ( 1 - 2 x ) - 5 ( x 2 + x ) 3 ( 2 x - 4 x 2 + 1 - 2 x + 2 x 2 + 2 x )

Resposta

Finalmente:

d f ( x ) d x = 4 ( 1 - 2 x ) - 5 ( x 2 + x ) 3 ( - 2 x 2 + 2 x + 1 )