No problema 17, calcule a derivada da função com auxílio da regra da cadeia.

g(y) = (7y + 3)^(-2) * (2y - 1)^4

Passo 1

Aplicando inicialmente a regra de Leibniz (Regra do produto), temos:

d g ( y ) d y =   d d y ( 7 y + 3 ) - 2 ( 2 y - 1 ) 4 + ( 7 y + 3 ) - 2 d d y ( 2 y - 1 ) 4

Identificando que 7 y + 3 pode ser interpretado como uma função u , e que 2 y - 1 pode ser identificado como uma função v podemos aplicar a regra da cadeia como:

d g ( y ) d y = d d u ( u - 2 ) d d y ( 7 y + 3 ) ( 2 y - 1 ) 4 + ( 7 y + 3 ) - 2 d d v ( v 4 ) d d y ( 2 y - 1 )

Passo 2

Aplicando a regra da potência na derivada em u e na derivada em v , e a regra da soma nas derivadas em y , temos que:

d g ( y ) d y = ( - 2 u - 2 - 1 ) ( d d y ( 7 y ) + d d y ( 3 ) ) ( 2 y - 1 ) 4 + ( 7 y + 3 ) - 2 ( 4 v 4 - 1 ) ( d d y ( 2 y ) + d d y ( - 1 ) )  

Passo 3

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes da derivada (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da identidade, temos:

d g ( y ) d y = - 2 u - 3 ( 7 ( 1 ) ) ( 2 y - 1 ) 4 + ( 7 y + 3 ) - 2 ( 4 v 3 ) ( 2 ( 1 ) )

d g ( y ) d y = - 14 u - 3 ( 2 y - 1 ) 4 + 8 v 3 ( 7 y + 3 ) - 2

Passo 4

Substituindo o valor de v e de u , temos que:

  d g ( y ) d y = - 14 ( 7 y + 3 ) - 3 ( 2 y - 1 ) 4 + 8 ( 2 y - 1 ) 3 ( 7 y + 3 ) - 2

Simplificando esta expressão:

d g ( y ) d y = 2 ( 7 y + 3 ) - 3 ( 2 y - 1 ) 3 ( - 7 ( 2 y - 1 ) + 4 ( 7 y + 3 )

d g ( y ) d y = 2 ( 7 y + 3 ) - 3 ( 2 y - 1 ) 3 ( - 14 y + 7 + 28 y + 12 )

Resposta

Finalmente:

d g ( y ) d y = ( 7 y + 3 ) - 3 ( 2 y - 1 ) 3 ( 28 y + 3 )