No problema 14, calcule a derivada da função com auxílio da regra da cadeia.

G(t) = (5 * t^2 + 1)^2 * (3 * t^4 + 2)^4

Passo 1

Aplicando inicialmente a regra de Leibniz (Regra do produto), temos:

d G ( t ) d t =   d d t ( 5 t 2 + 1 ) 2 ( 3 t 4 + 2 ) 4 + ( 5 t 2 + 1 ) 2 d d t ( 3 t 4 + 2 ) 4

Identificando que 5 t 2 + 1 pode ser interpretado como uma função u , e que 3 t 4 + 2 pode ser identificado como uma função v podemos aplicar a regra da cadeia como:

d G ( t ) d t = d d u ( u 2 ) d d t ( 5 t 2 + 1 ) ( 3 t 4 + 2 ) 4 + ( 5 t 2 + 1 ) 2 d d v ( v 4 ) d d t ( 3 t 4 + 2 )

Passo 2

Aplicando a regra da potência na derivada em u e na derivada em v , e a regra da soma nas derivadas em t , temos que:

d G ( t ) d t = ( 2 u 2 - 1 ) ( d d t ( 5 t 2 ) + d d t ( 1 ) ) ( 3 t 4 + 2 ) 4 + ( 5 t 2 + 1 ) 2 ( 4 v 4 - 1 ) ( d d t ( 3 t 4 ) + d d t ( 2 ) )  

Passo 3

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes da derivada (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da potência, temos:

d G ( t ) d t = 2 u ( 5 ( 2 t 2 - 1 ) ) ( 3 t 4 + 2 ) 4 + ( 5 t 2 + 1 ) 2 4 v 3 ( 3 ( 4 t 4 - 1 ) )

d G ( t ) d t = 20 u t ( 3 t 4 + 2 ) 4 + 48 v 3 t 3 ( 5 t 2 + 1 ) 2

Passo 4

Substituindo o valor de v e de u , temos que:

  d G ( t ) d t = 20 t ( 5 t 2 + 1 ) ( 3 t 4 + 2 ) 4 + 48 t 3 ( 3 t 4 + 2 ) 3 ( 5 t 2 + 1 ) 2

Simplificando esta expressão:

d G ( t ) d t = ( 5 t 2 + 1 ) ( 3 t 4 + 2 ) 3 ( 20 t ( 3 t 4 + 2 ) + 48 t 3 ( 5 t 2 + 1 ) )

d G ( t ) d t = ( 5 t 2 + 1 ) ( 3 t 4 + 2 ) 3 ( 60 t 5 + 40 t + 240 t 5 + 48 t 3 )

Resposta

Finalmente:

d G ( t ) d t   = ( 5 t 2 + 1 ) ( 3 t 4 + 2 ) 3 ( 300 t 5 + 48 t 3 + 40 t )