No problema 20, calcule a derivada da função com auxílio da regra da cadeia.

f(t) = (1 + t^2) / (1 - t^2)^(5)

Passo 1

Note que é possível aplicar a regra do quociente para resolver esta derivada, no entanto esta seção do livro indica o uso da regra de Leibniz e a regra da cadeia, portanto vamos reescrevê-la da seguinte forma:

f ( t )   =   ( 1 + t 2 ) 5 ( 1 - t 2 ) - 5

Lembrando que ( 1 - t 2 ) - 5 = 1 ( 1 - t 2 ) 5 .

Passo 2

Aplicando inicialmente a regra de Leibniz (Regra do produto), temos:

d f ( t ) d t =   d d t ( 1 + t 2 ) 5 ( 1 - t 2 ) - 5 + ( 1 + t 2 ) 5 d d t ( 1 - t 2 ) - 5

Identificando que 1 + t 2 pode ser interpretado como uma função w , e que 1 - t 2 pode ser identificado como uma função v podemos aplicar a regra da cadeia como:

d f ( t ) d t = d d w ( w 5 ) d d t ( 1 + t 2 ) ( 1 - t 2 ) - 5 + ( 1 + t 2 ) 5 d d v ( v - 5 ) d d t ( 1 - t 2 )

Passo 3

Aplicando a regra da potência na derivada em w e na derivada em v , e a regra da soma nas derivadas em t , temos que:

d f ( t ) d t = ( 5 w 5 - 1 ) ( d d t ( 1 ) + d d t ( t 2 ) ) ( 1 - t 2 ) - 5 + ( 1 + t 2 ) 5 ( - 5 v - 5 - 1 ) ( d d t ( 1 ) + d d t ( - t 2 ) )  

Passo 4

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes da derivada (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da potência, temos:

d f ( t ) d t = 5 w 4 ( 2 ( t 2 - 1 ) ) ( 1 - t 2 ) - 5 + ( 1 + t 2 ) 5 ( - 5 v - 6 ) ( - ( 2 t 2 - 1 ) )

Passo 5

Substituindo o valor de v e de w , temos que:

  d f ( t ) d t = 5 ( 1 + t 2 ) 4 ( 2 t ) ( 1 - t 2 ) - 5 + 10 t ( 1 - t 2 ) - 6 ( 1 + t 2 ) 5

Simplificando esta expressão:

d f ( t ) d t = 10 t ( 1 + t 2 ) 4 ( 1 - t 2 ) - 6 ( ( 1 - t 2 ) + ( 1 + t 2 ) )

d f ( t ) d t = 10 t ( 1 + t 2 ) 4 ( 1 - t 2 ) - 6 ( 2 )

Resposta

Finalmente:

d f ( t ) d t = 20 t ( 1 + t 2 ) 4 ( 1 - t 2 ) - 6