No problema 16, calcule a derivada da função com auxílio da regra da cadeia.

f(t) = (3t - 1)^(-1) * (2t + 5)^(-3)

Passo 1

Aplicando inicialmente a regra de Leibniz (Regra do produto), temos:

d f ( t ) d t =   d d t ( 3 t - 1 ) - 1 ( 2 t + 5 ) - 3 + ( 3 t - 1 ) - 1 d d t ( 2 t + 5 ) - 3

Identificando que 3 t - 1 pode ser interpretado como uma função u , e que 2 t + 5 pode ser identificado como uma função v podemos aplicar a regra da cadeia como:

d f ( t ) d t = d d u ( u - 1 ) d d t ( 3 t - 1 ) ( 2 t + 5 ) - 3 + ( 3 t - 1 ) - 1 d d v ( v - 3 ) d d t ( 2 t + 5 )

Passo 2

Aplicando a regra da potência na derivada em u e na derivada em v , e a regra da soma nas derivadas em t , temos que:

d f ( t ) d t = ( - 1 u - 1 - 1 ) ( d d t ( 3 t ) + d d t ( - 1 ) ) ( 2 t + 5 ) - 3 + ( 3 t - 1 ) - 1 ( - 3 v - 3 - 1 ) ( d d t ( 2 t ) + d d t ( 5 ) )  

Passo 3

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes da derivada (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da identidade, temos:

d f ( t ) d t = - u - 2 ( 3 ( 1 ) ) ( 2 t + 5 ) - 3 + ( 3 t - 1 ) - 1 ( - 3 v - 4 ) ( 2 ( 1 ) )

d f ( t ) d t = - 2 u - 2 ( 2 t + 5 ) - 3 - 6 v - 4 ( 3 t - 1 ) - 1

Passo 4

Substituindo o valor de v e de u , temos que:

  d f ( t ) d t = - 2 ( 3 t - 1 ) - 2 ( 2 t + 5 ) - 3 - 6 ( 2 t + 5 ) - 4 ( 3 t - 1 ) - 1

Simplificando esta expressão:

d f ( t ) d t = - 2 ( 3 t - 1 ) - 1 ( 2 t + 5 ) - 3 ( ( 3 t - 1 ) - 1 + 3 ( 2 t + 5 ) - 1 )

Resposta

Finalmente:

d f ( t ) d t   = - 2 ( 3 t - 1 ) - 1 ( 2 t + 5 ) - 3 ( ( 3 t - 1 ) - 1 + 3 ( 2 t + 5 ) - 1 )