No problema 18, calcule a derivada da função com auxílio da regra da cadeia.

f(u) = (6u + 1 / u)^(-5) * (2u - 2)^7

Passo 1

Aplicando inicialmente a regra de Leibniz (Regra do produto), temos:

d f ( u ) d u =   d d u ( 6 u + 1 u ) - 5 ( 2 u - 2 ) 7 + ( 6 u + 1 u ) - 5 d d u ( 2 u - 2 ) 7

Identificando que 7 y + 3 pode ser interpretado como uma função w , e que 2 y - 1 pode ser identificado como uma função v podemos aplicar a regra da cadeia como:

d f ( u ) d u = d d w ( w - 5 ) d d u ( 6 u + 1 u ) ( 2 u - 2 ) 7 + ( 6 u + 1 u ) - 5 d d v ( v 7 ) d d u ( 2 u - 2 )

Passo 2

Aplicando a regra da potência na derivada em w e na derivada em v , e a regra da soma nas derivadas em u , temos que:

d f ( u ) d u = ( - 5 w - 5 - 1 ) ( d d u ( 6 u ) + d d u ( 1 u ) ) ( 2 u - 2 ) 7 + ( 6 u + 1 u ) - 5 ( 7 v 7 - 1 ) ( d d u ( 2 u ) + d d u ( - 2 ) )  

Passo 3

Anulando as derivadas de funções constantes (Regra da constante). Retirando constantes da derivada (Regra da homogeneidade). Aplicando a regra da potência e da identidade, temos:

d f ( u ) d u = - 5 w - 6 ( 6 ( 1 ) - 1 ( u - 1 - 1 ) ) ( 2 u - 2 ) 7 + ( 6 u + 1 u ) - 5 ( 7 v 6 ) ( 2 ( 1 ) )

em que usei 1 u = u - 1 .

d f ( u ) d u = - 5 w - 6 ( 6 - 1 u 2 ) ( 2 u - 2 ) 7 + 14 v 6 ( 6 u + 1 u ) - 5

Passo 4

Substituindo o valor de v e de w , temos que:

  d f ( u ) d u = - 5 ( 6 u + 1 u ) - 6 ( 6 - 1 u 2 ) ( 2 u - 2 ) 7 + 14 ( 2 u - 2 ) 6 ( 6 u + 1 u ) - 5

Simplificando esta expressão:

d f ( u ) d u = ( 6 u + 1 u ) - 6 ( 2 u - 2 ) 6 ( - 5 ( 6 - 1 u 2 ) ( 2 u - 2 ) + 14 ( 6 u + 1 u ) )

d f ( u ) d u = ( 6 u + 1 u ) - 6 ( 2 u - 2 ) 6 ( - 5 ( 12 u - 12 - 2 u ) + 84 u + 14 u )

d f ( u ) d u = ( 6 u + 1 u ) - 6 ( 2 u - 2 ) 6 ( - 60 u + 60 + 10 u 2 + 84 u + 14 u )

Resposta

Finalmente:

d f ( u ) d u = ( 6 u + 1 u ) - 6 ( 2 u - 2 ) 6 ( 24 u + 60 + 24 u )