No problema 14, determine cada soma usando as propriedades do somatório..

∑ k = 1 100 ( 1 k - 1 k + 1 )

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Olha só esse limite enorme de soma, certo? Abrir isso explicitamente é possível, mas é uma baita trabalheira… Vamos fazer isso de uma maneira um pouco diferente para que seja mais rápido! Vamos utilizar as propriedades do somatório para obter este resultado. Bora lá!

Passo 2

Para este problema, vamos usar a seguinte propriedade:

  • Propriedade telescópica:

∑ k = 1 n ( b k - b k - 1 ) = b n - b 0

O enunciado não deixa isso tão óbvio, mas, é possível com um retrabalho identificar esta propriedade, bora lá!

Passo 3

Reescrevendo, temos:

∑ k = 1 100 ( 1 k - 1 k + 1 ) = - ∑ k = 1 100 ( 1 k + 1 - 1 k )

Se identificarmos k + 1 = j e, portanto, k   =   j - 1 . Note que b k   =   1 k + 1 . Então esta soma está no formato telescópico:

- ∑ k = 1 100 ( 1 k + 1 - 1 k ) = - ( 1 101 - 1 0 + 1 ) = - ( 1 101 - 1 ) = - ( 1 - 101 101 ) = 100 101

Resposta

Portanto, temos:

∑ k = 1 100 ( 1 k - 1 k + 1 ) = 100 10