No problema 12, determine cada soma usando as propriedades do somatório..

∑ k = 0 100 ( 5 k + 1 - 5 k )

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Olha só esse limite enorme de soma, certo? Abrir isso explicitamente é possível, mas é uma baita trabalheira… Vamos fazer isso de uma maneira um pouco diferente para que seja mais rápido! Vamos utilizar as propriedades do somatório para obter este resultado. Bora lá!

Passo 2

Para este problema, vamos usar a seguinte propriedade:

  • Soma de uma sequência geométrica:

∑ k = 1 n A C k = A ( 1 - C n + 1 1 - C ) ,   s e   C ≠ 1 .

Para usar esta propriedade, precisamos reescrever um pouquinho o enunciado.

Passo 3

Reescrevendo, temos:

∑ k = 0 100 ( 5 k + 1 - 5 k )   =   ∑ k = 0 100 ( 5 k 5 1 - 5 k )   =   5 0 5 1 - 5 0 + ∑ k = 1 100 ( 5 × 5 k - 5 k ) = 4 + ∑ k = 1 100 ( - 4 × 5 k )

Se identificarmos que A   =   - 4 , C = 5 e n = 100 , portanto:

∑ k = 0 100 ( 5 k + 1 - 5 k )   = 4 - 4 ( 1 - 5 100 + 1 1 - 5 ) = 4 + 1 - 5 101 = 5 - 5 101

Resposta

Portanto, temos:

∑ k = 0 100 ( 5 k + 1 - 5 k )   = 5 - 5 101