No problema 9, determine cada soma usando as propriedades do somatório..

∑ k = 1 50 ( 2 k + 3 )

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Olha só esse limite enorme de soma, certo? Abrir isso explicitamente é possível, mas é uma baita trabalheira… Vamos fazer isso de uma maneira um pouco diferente para que seja mais rápido! Vamos utilizar as propriedades do somatório para obter este resultado. Bora lá!

Passo 2

Para este problema, vamos usar as seguintes propriedades:

  • A propriedade aditiva:

∑ k = 1 n ( a k + b k ) = ∑ k = 1 n a k + ∑ k = 1 n b k

  • A propriedade da constante:

∑ k = 1 n C = n C

  • A propriedade da homogeneidade:

∑ k = 1 n C a k = C ∑ k = 1 n a k

  • Soma de inteiros sucessivos:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

Utilizando todas elas, podemos reescrever a soma do enunciado.

Passo 3

Reescrevendo, temos:

∑ k = 1 50 ( 2 k + 3 )   =   ∑ k = 1 50 ( 2 k ) + ∑ k = 1 50 3 = 2 ∑ k = 1 50 k + ( 50 ) ( 3 ) = 2 ( 50 ( 50 + 1 ) 2 ) + 150 =

= 2550 + 150   =   2700

Resposta

Portanto, temos:

∑ k = 1 50 ( 2 k + 3 )   = 2700