No problema 13, determine cada soma usando as propriedades do somatório..

∑ k = 1 n k ( k + 1 )

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Olha só esse limite enorme de soma, certo? Abrir isso explicitamente é possível, mas é uma baita trabalheira… Vamos fazer isso de uma maneira um pouco diferente para que seja mais rápido! Vamos utilizar as propriedades do somatório para obter este resultado. Bora lá!

Passo 2

Para este problema, vamos usar as seguintes propriedades:

  • A propriedade aditiva:

∑ k = 1 n ( a k + b k ) = ∑ k = 1 n a k + ∑ k = 1 n b k

  • Soma de inteiros sucessivos:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

  • Soma de quadrados sucessivos:

∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Para usar estas propriedades, precisamos reescrever um pouquinho o enunciado.

Passo 3

Reescrevendo, temos:

∑ k = 1 n k ( k + 1 ) = ∑ k = 1 n k 2 + k = ∑ k = 1 n k 2 + ∑ k = 1 n k =

= n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + n ( n + 1 ) 2 = n ( n + 1 ) 2 ( ( 2 n + 1 ) 3 + 1 ) = n ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 1 + 3 3 ) =

2 n ( n + 1 ) 2 ( n + 2 3 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3

Resposta

Portanto, temos:

∑ k = 1 n k ( k + 1 ) = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 3