No problema 10, determine cada soma usando as propriedades do somatório..

∑ i = 1 30 i ( i - 1 )

Passo 1

Oiiie, tudo certinho?

Olha só esse limite enorme de soma, certo? Abrir isso explicitamente é possível, mas é uma baita trabalheira… Vamos fazer isso de uma maneira um pouco diferente para que seja mais rápido! Vamos utilizar as propriedades do somatório para obter este resultado. Bora lá!

Passo 2

Para este problema, vamos usar as seguintes propriedades:

  • A propriedade aditiva:

∑ k = 1 n ( a k + b k ) = ∑ k = 1 n a k + ∑ k = 1 n b k

  • A propriedade da constante:

∑ k = 1 n C = n C

  • Soma de inteiros sucessivos:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2

  • Soma de quadrados sucessivos:

∑ k = 1 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

Utilizando todas elas, podemos reescrever a soma do enunciado.

Passo 3

Reescrevendo, temos:

∑ i = 1 30 i ( i - 1 )   =   ∑ i = 1 30 ( i 2 - i ) = ∑ i = 1 30 i 2 - ∑ i = 1 30 i = 30 ( 30 + 1 ) ( 2 × 30 + 1 ) 6 - 30 ( 30 + 1 ) 2 =

= 30 × 31 × 61 6 - 930 2   =   56730 - 2790 6 = 8990

Resposta

Portanto, temos:

∑ i = 1 30 i ( i - 1 )   = 8990