No problema 6, determine a equação do círculo no plano que satisfaz as condições dadas:
- Os pontos e são pontos extremos de um diâmetro.
Passo 1
Eaew, belezinha? Bora começar mais um belo dia de estudos?
O problema de hoje é bem de boinhas, beleza? Nós só precisamos relembrar algumas coisinhas de geometria analítica, neste caso a famigerada equação do círculo! Esta equação tem a seguinte forma:
Temos nesta equação que são as coordenadas do centro de nosso círculo e que é seu raio. Com isso já podemos fazer algumas coisinhas com o que nos foi dado, bora lá!
Passo 2
Primeiro, vale a pena lembrar que um diâmetro é dado por:
Então é daqui que vai sair o raio de nosso círculo! Para achar quando vale , note que o enunciado diz que os pontos e são extremos de um diâmetro, portanto, precisamos calcular a distância entre eles!
Para isso, vamos lembrar mais uma coisinha de geometria analítica. A distância entre 2 pontos é obtida calculando o módulo de um vetor formado da seguinte maneira:
Onde e . Temos então o seguinte:
O módulo pode ser obtido fazendo:
Finalmente, temos que:
Muito bem, então temos o raio, agora precisamos achar as coordenadas do centro de nosso círculo. Para isso é só lembrar que se os pontos e são extremos do diâmetro, então eles pertencem ao círculo. Vamos partir daí!
Passo 3
Temos que este círculo deve conter o ponto e também o ponto . Vamos então substituir estas coordenadas na equação do círculo com que obtemos no passo 2. Lembre que o ponto é dado na forma , okay? A primeira fica da forma:
Agora para o outro ponto, temos:
Reescrevendo ela um pouco, temos:
Temos duas equações e dois valores para achar, portanto estamos com a faca e o queijo na mão. Vamos usar essas equações para encontrar e , beleza?
Passo 4
As equações (1) e (2) formam para a gente um sistema linear de equações para resolver. Você pode fazer qualquer processo que quiser para isolar em termos de e ir resolvendo no seu ritmo. Aqui no site vou te dar um caminho que eu acho bem fácil! Vamos primeiro subtrair da equação (1) a equação (2), desse jeitinho aqui:
Reorganizando um pouquinho:
Abrindo os produtos notáveis, temos:
Cortando o que dá para cortar, temos:
Substituindo agora o valor de em (1) ou (2) (Isso é sua escolha, eu vou escolher a (1)), obtemos:
Podemos isolar agora o valor de de forma que:
Temos que:
O que nos dá para o seguinte valor (Só jogar na fórmula de Baskhara e vai dar tudo certo!!!):
Usando este resultado na equação (3), temos:
Uff… Finalmente, podemos só substituir os valores na equação do círculo e obter o resultado final!
Resposta
A equação final do círculo é: