No problema 6, determine a equação do círculo no plano xy que satisfaz as condições dadas:

  • Os pontos (3,7) e (-3, -1) são pontos extremos de um diâmetro.

Passo 1

Eaew, belezinha? Bora começar mais um belo dia de estudos?

O problema de hoje é bem de boinhas, beleza? Nós só precisamos relembrar algumas coisinhas de geometria analítica, neste caso a famigerada equação do círculo! Esta equação tem a seguinte forma:

( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2

Temos nesta equação que ( h , k ) são as coordenadas ( x , y ) do centro C de nosso círculo e que r é seu raio. Com isso já podemos fazer algumas coisinhas com o que nos foi dado, bora lá!

Passo 2

Primeiro, vale a pena lembrar que um diâmetro d é dado por:

d   =   2 r

Então é daqui que vai sair o raio de nosso círculo! Para achar quando vale d , note que o enunciado diz que os pontos ( 3,7 ) e ( - 3 , - 1 ) são extremos de um diâmetro, portanto, precisamos calcular a distância entre eles!

Para isso, vamos lembrar mais uma coisinha de geometria analítica. A distância entre 2 pontos é obtida calculando o módulo de um vetor formado da seguinte maneira:

d → = ( d A , d B ) =   ( x B - x A , y B - y A )

Onde ( 3,7 ) = ( x B , y B ) e ( - 3 , - 1 ) = ( x A , y A ) . Temos então o seguinte:

d →   =   ( 3 - ( - 3 ) , 7 - ( - 1 ) ) = ( 6   ,   8 )

O módulo pode ser obtido fazendo:

d   =   | d → |   =   d A 2 + d b 2 = 6 2 + 8 2 = 100 = 10

Finalmente, temos que:

r   =   5

Muito bem, então temos o raio, agora precisamos achar as coordenadas ( h , k ) do centro de nosso círculo. Para isso é só lembrar que se os pontos ( 3,7 ) e ( - 3 , - 1 ) são extremos do diâmetro, então eles pertencem ao círculo. Vamos partir daí!

Passo 3

Temos que este círculo deve conter o ponto ( 3,7 ) e também o ponto ( - 3 , - 1 ) . Vamos então substituir estas coordenadas na equação do círculo com r = 5 que obtemos no passo 2. Lembre que o ponto é dado na forma ( x , y ) , okay? A primeira fica da forma:

( 3 - h ) 2 + ( 7 - k ) 2 = 25           ( 1 )

Agora para o outro ponto, temos:

( - 3 - h ) 2 + ( - 1 - k ) 2 = 25

Reescrevendo ela um pouco, temos:

( - ( 3 + h ) ) 2 + ( - 1 ( 1 + k ) ) 2 = 25   →   ( 3 + h ) 2 + ( 1 + k ) 2 =   25           ( 2 )

Temos duas equações e dois valores para achar, portanto estamos com a faca e o queijo na mão. Vamos usar essas equações para encontrar h e k , beleza?

Passo 4

As equações (1) e (2) formam para a gente um sistema linear de equações para resolver. Você pode fazer qualquer processo que quiser para isolar h em termos de k e ir resolvendo no seu ritmo. Aqui no site vou te dar um caminho que eu acho bem fácil! Vamos primeiro subtrair da equação (1) a equação (2), desse jeitinho aqui:

( 3 - h ) 2 + ( 7 - k ) 2 - ( ( 3 + h ) 2 + ( 1 + k ) 2 ) = 25 - ( 25 )

Reorganizando um pouquinho:

( 3 - h ) 2 - ( 3 + h ) 2 + ( 7 - k ) 2 - ( 1 + k ) 2 = 0

Abrindo os produtos notáveis, temos:

9 - 6 h + h 2 - 9 - 6 h - h 2 + 49 - 14 k + k 2 - 1 - 2 k - k 2 = 0

Cortando o que dá para cortar, temos:

- 12 h + 48 - 16 k = 0   →   h   =   12 - 4 k 3           ( 3 )

Substituindo agora o valor de h em (1) ou (2) (Isso é sua escolha, eu vou escolher a (1)), obtemos:

( 3 - ( 12 - 4 k 3 ) ) 2 + ( 7 - k ) 2 = 25   →   ( - 1 + 4 3 k ) 2 + ( 7 - k ) 2 = 25

Podemos isolar agora o valor de k de forma que:

1 - 8 3 k + 16 9 k 2 + 49 - 14 k + k 2 = 25   → - 50 3 k + 25 9 k 2 = - 25  

Temos que:

  k 2 - 6 k + 9 = 0

O que nos dá para k o seguinte valor (Só jogar na fórmula de Baskhara e vai dar tudo certo!!!):

k = 3  

Usando este resultado na equação (3), temos:

h   =   12   -   4 ( 3 ) 3 = 0   →   h   =   0

Uff… Finalmente, podemos só substituir os valores na equação do círculo e obter o resultado final!

Resposta

A equação final do círculo é:

x 2 + ( y - 3 ) 2 = 25