No problema 5, determine a equação do círculo no plano x * y que satisfaz as condições dadas:

  • Raio 4 e contendo os pontos (-3,0) e (5,0) .

Passo 1

Eaew, belezinha? Bora começar mais um belo dia de estudos?

O problema de hoje é bem de boinhas, beleza? Nós só precisamos relembrar algumas coisinhas de geometria analítica, neste caso a famigerada equação do círculo! Esta equação tem a seguinte forma:

( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2

Temos nesta equação que ( h , k ) são as coordenadas ( x , y ) do centro C de nosso círculo e que r é seu raio. Com isso já podemos fazer algumas coisinhas com o que nos foi dado, bora lá!

Passo 2

Substituindo os dados que o enunciado nos deu, temos:

( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = 4 2

Não foi muita coisa, mas é o suficiente! Usando os dois pontos que o enunciado deu, é possível achar os valores que faltam! Vem comigo!

Passo 3

Temos que este círculo deve conter o ponto ( - 3,0 ) e também o ponto ( 5,0 ) . Vamos então substituir estas coordenadas na equação do círculo que obtemos no passo 2. Lembre que o ponto é dado na forma ( x , y ) , okay? A primeira fica da forma:

( ( - 3 ) - h ) 2 + ( 0 - k ) 2 = 16

Reescrevendo isto um pouquinho, temos:

( - 3   - h ) 2 + ( - k ) 2 = 16   →   ( - ( 3 + h ) ) 2 + k 2 = 16  

( 3 + h ) 2 + k 2 = 16               ( 1 )

Vamos guardar essa equação por enquanto, e fazer a mesma coisa para o outro ponto! Fica assim:

( 5 - h ) 2 + ( 0 - k ) 2 = 16

Do mesmo jeito que fizemos antes, chegamos em:

( 5 - h ) 2 + k 2 = 16             ( 2 )

Temos duas equações e dois valores para achar, portanto estamos com a faca e o queijo na mão. Vamos usar essas equações para encontrar h e k , beleza?

Passo 4

As equações (1) e (2) formam para a gente um sistema linear de equações para resolver. Você pode fazer qualquer processo que quiser para isolar h em termos de k e ir resolvendo no seu ritmo. Aqui no site vou te dar um caminho que eu acho bem fácil! Vamos primeiro subtrair da equação (1) a equação (2), desse jeitinho aqui:

( 3 + h ) 2 + k 2 - ( ( 5 - h ) 2 + k 2 ) = 16 - ( 16 )

Cortando o que dá para cortar, temos:

( 3 + h ) 2 - ( 5 - h ) 2 = 0

Agora é só isolar h , fácil, não é?

( 3 + h ) 2 = ( 5 - h ) 2   →   3 + h = 5 - h   →   2 h   =   2   →   h = 1

Substituindo agora o valor de h em (1) ou (2) (Isso é sua escolha, eu vou escolher a (1)), obtemos:

( 3 + 1 ) 2 + k 2 = 16   →   4 2 + k 2 = 16   →   k 2   =   16   -   16   =   0   →   k   =   0

Tendo em mão os dois valores, então é só substituir na equação do círculo e ser feliz!

Resposta

A equação final do círculo é:

( x - 1 ) 2 + y 2 = 16