No problema 20, determine a equação na forma canônica do círculo ou círculos no plano x y satisfazendo as condições dadas.

  • Centro na reta x - 4y - 1 = 0 , raio 5 , e tangente ao eixo x . (Existem dois círculos neste caso).

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite!! Boa madrugada para aqueles que estudam em horários alternativos! Prontos para mais uma questão?

( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2

Temos nesta equação que ( h , k ) são as coordenadas ( x , y ) do centro C de nosso círculo e que r é seu raio. Temos que utilizar a informação que os pontos dados pertencem a um círculo (ou mais) para encontrar os parâmetros livres. Então vamos começar!

Passo 2

Primeira coisa que temos que considerar é que o centro está sobre a reta dada, portanto temos:

h -   4 k   - 1   = 0           ( 1 )

Se este círculo tem raio 5 , também podemos escrever a equação do círculo como:

( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = 25

Precisamos de um ponto que pertence a esse círculo para que tudo esteja definido bonitinho. Isso a gente tira da informação que este círculo é tangente ao eixo x , note que isso nos garante que o ponto de coordenadas ( h , 0 ) , pertence ao nosso círculo, saca só essa figura:

Beleza? Então vamos utilizar as coordenadas do ponto ( h , 0 ) , para reescrever a equação do círculo:

( h - h ) 2 + ( 0 - k ) 2 = 25   →   k 2 = 25   →   k   =   ± 5

Isso nos dá dois círculos possíveis atendendo as condições do enunciado, note que os valores de h podem ser obtidos com a equação (1), temos:

h + -   4 ( 5 )   - 1   = 0   →   h +   =   21

e também:

h - -   4 ( - 5 )   - 1   = 0   →   h -   =   - 19

Temos tudo que precisamos para escrever nossas equações!

Resposta

As equações dos círculos são dadas por:

( x - 21 ) 2 + ( y - 5 ) 2 = 25   e   ( x + 19 ) 2 + ( y + 5 ) 2 = 25