No problema 18, determine a equação na forma canônica do círculo ou círculos no plano satisfazendo as condições dadas.
- Centro na reta e contendo os pontos e .
Passo 1
Bom dia, boa tarde, boa noite!! Boa madrugada para aqueles que estudam em horários alternativos! Prontos para mais uma questão?
Temos nesta equação que são as coordenadas do centro de nosso círculo e que é seu raio. Temos que utilizar a informação que os pontos dados pertencem a um círculo (ou mais) para encontrar os parâmetros livres. Então vamos começar!
Passo 2
De cara nós devemos garantir que o centro de nosso círculo passe pela reta dada, isso é simplesmente dizer que:
Agora, precisamos garantir que os dois pontos dados também pertencem a este círculo, então, para o ponto , temos:
E para o ponto , da mesma forma, temos:
Formando assim para a gente um sistema de equação lineares para o 3 parâmetros livres. Você pode resolver da forma que achar melhor, eu vou só apresentar aqui uma possibilidade. Vamos lá!
Passo 3
Subtraindo a equação (3) da equação (2), temos:
Simplificando, temos:
Utilizando este resultado na equação (1), é bem fácil perceber que:
Uma vez que , temos que usando , temos . Podemos usar isso na equação (2) ou (3), e obter . Temos:
Com este valor temos tudo que precisávamos, agora é só escrever a equação como!
Resposta
A equação do círculo é dada por: