No problema 18, determine a equação na forma canônica do círculo ou círculos no plano xy satisfazendo as condições dadas.

  • Centro na reta x - 4y - 1 = 0 e contendo os pontos (3,7) e (5,5) .

Passo 1

Bom dia, boa tarde, boa noite!! Boa madrugada para aqueles que estudam em horários alternativos! Prontos para mais uma questão?

( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2

Temos nesta equação que ( h , k ) são as coordenadas ( x , y ) do centro C de nosso círculo e que r é seu raio. Temos que utilizar a informação que os pontos dados pertencem a um círculo (ou mais) para encontrar os parâmetros livres. Então vamos começar!

Passo 2

De cara nós devemos garantir que o centro de nosso círculo passe pela reta dada, isso é simplesmente dizer que:

h   -   4 k   -   1   =   0           ( 1 )

Agora, precisamos garantir que os dois pontos dados também pertencem a este círculo, então, para o ponto ( 3,7 ) , temos:

( 3 - h ) 2 + ( 7 - k ) 2 = r 2           ( 2 )

E para o ponto ( 5,5 ) , da mesma forma, temos:

( 5 - h ) 2 + ( 5 - k ) 2 = r 2           ( 3 )

Formando assim para a gente um sistema de equação lineares para o 3 parâmetros livres. Você pode resolver da forma que achar melhor, eu vou só apresentar aqui uma possibilidade. Vamos lá!

Passo 3

Subtraindo a equação (3) da equação (2), temos:

( 3 - h ) 2 - ( 5 - h ) 2 + ( 7 - k ) 2 - ( 5 - k ) 2 = r 2 - r 2

Simplificando, temos:

9 - 6 h + h 2 - 25 + 10 h - h 2 + 49 - 14 k + k 2 - 25 + 10 k - k 2 = 0

8 + 4 h - 4 k = 0   →   h   =   k - 2

Utilizando este resultado na equação (1), é bem fácil perceber que:

k - 2   -   4 k   -   1   =   0   →   - 3 k - 3 = 0   →   k   =   - 1

Uma vez que k = - 1 , temos que usando h = k - 2 , temos h   =   - 3 . Podemos usar isso na equação (2) ou (3), e obter r 2 . Temos:

( 3 - ( - 3 ) ) 2 + ( 7 - ( - 1 ) ) 2 = r 2   →   36   +   64   =   r 2   →   r 2 = 100

Com este valor temos tudo que precisávamos, agora é só escrever a equação como!

Resposta

A equação do círculo é dada por:

( x + 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 100