No problema 11, determine o raio r e as coordenadas (h, k) do centro do círculo para cada equação e esboce o gráfico do círculo.

4x^2 + 4y^2 + 8x - 4y + 1 = 0

Sugestão: Comece dividindo por 4.

Passo 1

Saudações jovem padawan! Mais um dia se passa no árduo caminho de se tornar “Jedi” do cálculo I?

Para você que trilha este caminho, esta questão não causará nenhum problema! Vamos relembrar aqui rapidinho a equação do círculo:

( x - h ) 2 + ( y - k ) 2 = r 2

Temos nesta equação que ( h , k ) são as coordenadas ( x , y ) do centro C de nosso círculo e que r é seu raio. Precisamos reescrever um pouquinho o que nos foi dado no enunciado de forma a conseguir identificar esses valores corretamente. Então bora lá!

Passo 2

Vamos usar a sugestão do enunciado primeiro, então, dividindo tudo por 4, temos:

x 2 + y 2 + 2 x - y + 1 4 = 0  

Partindo do que nos foi dado no enunciado, é possível completar o quadrado fazendo o seguinte:

x 2 + 2 x + ( 1 ) 2 - ( 1 ) 2 + y 2 - y + ( 1 2 ) 2 - ( 1 2 ) 2 + 1 4 = 0

Dica: O termo que você precisa somar e subtrair na hora de completar o quadrado pode ser identificado da seguinte forma, se x 2 ± B x , temos um quadrado perfeito adicionando e subtraindo um valor ( B 2 ) 2 , desta maneira chegamos em algo do tipo x 2 ± B x + ( B 2 ) 2 = ( x ± B 2 ) 2 . Belezinha? Se notar, foi isso que fiz acima! Identificando os quadrados perfeitos acima e cortando o que der para cortar, temos;

( x + 1 ) 2 + ( y - 1 2 ) 2 = 1

Agora que a equação está nesse formato é só identificar o que precisamos!

Passo 3

Por identificação é possível notar que h   =   - 1 e que k   =   1 2 , assim como r   =   1 . E utilizando estes valores para esboçar o círculo, você vai obter algo próximo ao seguinte:

Resposta

A resposta está ao longo do passo 3.