No problema 12, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo y .

y = 2 * x^3, y = 2, e x = 0

Passo 1

Oiii, tudo bem?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo y . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função f ( y ) dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal d y que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.

Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal d V , calculados como:

d V   =   A b a s e × d y   =   π r 2 × d y   =   π [ f ( y ) ] 2 × d y

Temos que A b a s e   é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:

V   =   ∫ y = a y = b d V = ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y = π ∫ a b [ f ( y ) ] 2 d y           ( 1 )

Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!

Passo 2

Podemos identificar que x   = f ( y )   =   ( y / 2 ) 1 / 3 . E, os limites de integração são y = 2 × 0 3 = 0 até y =   2 . E assim podemos escrever nossa integral!

Passo 3

Utilizando a função na equação (1), temos que:

V   =   π ∫ 0 2 ( ( y / 2 ) 1 / 3 ) 2 d y = π ∫ 0 2 ( y / 2 ) 2 / 3 d y = ( 2 ) 2 / 3 π ∫ 0 2 ( y ) 2 / 3 d y

Podemos utilizar que:

∫ x n = x n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = 2 2 / 3 π ∫ 0 2 y 2 / 3 d y = 2 2 / 3 π y 2 / 3 + 1 2 / 3 + 1 | 0 2 = 2 2 / 3 π y 5 / 3 5 / 3 | 0 2 = 2 2 / 3 3 π 5 ( 2 5 / 3 - 0 5 / 3 ) =

= 3 × 2 7 / 3 π 5

Resposta

O volume é dado por:

V   = 3 × 2 7 / 3 π 5     u n i d a d e s   c ú b i c a s