No problema 11, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo y .

y^2 = x^3, y = 8, e x = 0

Passo 1

Oiii, tudo bem?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo y . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função f ( y ) dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal d y que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.

Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal d V , calculados como:

d V   =   A b a s e × d y   =   π r 2 × d y   =   π [ f ( y ) ] 2 × d y

Temos que A b a s e   é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:

V   =   ∫ y = a y = b d V = ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y = π ∫ a b [ f ( y ) ] 2 d y           ( 1 )

Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!

Passo 2

Podemos identificar que x   = f ( y )   =   y 2 / 3 . E, os limites de integração são y = 0 3 / 2 = 0 até y =   8 . E assim podemos escrever nossa integral!

Passo 3

Utilizando a função na equação (1), temos que:

V   =   π ∫ 0 8 ( y 2 / 3 ) 2 d y = π ∫ 0 8 y 4 / 3 d y

Podemos utilizar que:

∫ x n = x n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = π ∫ 0 8 y 4 / 3 d y = π y 4 / 3 + 1 4 / 3 + 1 | 0 8 = π y 7 / 3 7 / 3 | 0 8 = 3 π 7 ( 8 7 / 3 - 0 7 / 3 ) = 384 π 7

Resposta

O volume é dado por:

V   = 384 π 7     u n i d a d e s   c ú b i c a s