No problema 10, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo y .

y = x^2 + 2, y = 4, e x = 0 (primeira quadrada)

Passo 1

Oiii, tudo bem?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo y . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função f ( y ) dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal d y que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.

Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal d V , calculados como:

d V   =   A b a s e × d y   =   π r 2 × d y   =   π [ f ( y ) ] 2 × d y

Temos que A b a s e   é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:

V   =   ∫ y = a y = b d V = ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y = π ∫ a b [ f ( y ) ] 2 d y           ( 1 )

Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!

Passo 2

Podemos identificar que x   = f ( y )   =   + ( y - 2 ) 1 / 2 , deixei o sinal positivo explícito pois é o que indica que estamos no primeiro quadrante (lembre que ao tirar uma raiz quadrada você teria a possibilidade negativa!). E, os limites de integração são y = 0 2 + 2 = 2 até y =   4 . E assim podemos escrever nossa integral!

Passo 3

Utilizando a função na equação (1), temos que:

V   =   π ∫ 2 4 ( ( y - 2 ) 1 / 2 ) 2 d y = π ∫ 2 4 ( y - 2 ) d y

Podemos utilizar que:

∫ x n = x n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = π ∫ 2 4 y d y - 2 π ∫ 2 4 d y = π y 2 2 | 2 4 - 2 π y | 2 4 = π 2 ( 4 2 - 2 2 ) - 2 π ( 4 - 2 ) =

V   = π 2 ( 12 ) - 4 π = 2 π

Resposta

O volume é dado por:

V   = 2 π     u n i d a d e s   c ú b i c a s