No problema 10, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo .
Passo 1
Oiii, tudo bem?
Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.
Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal , calculados como:
Temos que é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:
Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!
Passo 2
Podemos identificar que , deixei o sinal positivo explícito pois é o que indica que estamos no primeiro quadrante (lembre que ao tirar uma raiz quadrada você teria a possibilidade negativa!). E, os limites de integração são até . E assim podemos escrever nossa integral!
Passo 3
Utilizando a função na equação (1), temos que:
Podemos utilizar que:
Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:
Resposta
O volume é dado por: