No problema 5, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo x .

F(x) = raiz(2 + x^2); [0,2]

Passo 1

Opa, belezinha?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo x . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função F ( x ) dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal d x que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.

Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal d V , calculados como:

d V   =   A b a s e × d x   =   π r 2 × d x   =   π [ F ( x ) ] 2 × d x

Temos que A b a s e   é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:

V   =   ∫ x = a x = b d V = ∫ a b π [ F ( x ) ] 2 d x = π ∫ a b [ F ( x ) ] 2 d x           ( 1 )

Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!

Passo 2

Utilizando a função na equação (1), temos que:

V   =   π ∫ 0 2 [ 2 + x 2 ] 2 d x = π ∫ 0 2 ( 2 + x 2 ) d x

Podemos utilizar que:

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x

e também que:

∫ x n = x n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = π ( ∫ 0 2 2   d x + ∫ 0 2 x 2 d x ) = π ( 2 x | 2 0 + x 3 3 | 0 2 ) = π ( 2 ( 2 ) - 2 ( 0 ) + ( 2 ) 3 3 - ( 0 ) 3 3 ) =

= π ( 4 + 4 3 ) = π 3 ( 12 + 8 ) = 20 π 3

Resposta

O volume é dado por:

V   =   20 π 3   u n i d a d e s   c ú b i c a s