No problema 2, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo x .

g(x) = 3 * raiz(x); [1,4]

Passo 1

Opa, belezinha?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo x . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função g ( x ) dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal d x que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.

Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal d V , calculados como:

d V   =   A b a s e × d x   =   π r 2 × d x   =   π [ g ( x ) ] 2 × d x

Temos que A b a s e   é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:

V   =   ∫ x = a x = b d V = ∫ a b π [ g ( x ) ] 2 d x = π ∫ a b [ g ( x ) ] 2 d x           ( 1 )

Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!

Passo 2

Utilizando a função na equação (1), temos que:

V   =   π ∫ 1 4 [ 3 x ] 2 d x = 9 π ∫ 1 4 x d x

Podemos utilizar que:

∫ x n = x n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   =   9 π ( x 2 2 ) | 1 4 = 9 π ( 4 2 2 - ( 1 ) 2 2 ) = 9 π 2 ( 16 - 1 ) = 135 π 2  

Resposta

O volume é dado por:

V   =   135 π 2   u n i d a d e s   c ú b i c a s