No problema 3, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo x .

h(x) = raiz(9 - x^2); [-1, 3]

Passo 1

Opa, belezinha?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo x . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função h ( x ) dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal d x que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.

Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal d V , calculados como:

d V   =   A b a s e × d x   =   π r 2 × d x   =   π [ h ( x ) ] 2 × d x

Temos que A b a s e   é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:

V   =   ∫ x = a x = b d V = ∫ a b π [ h ( x ) ] 2 d x = π ∫ a b [ h ( x ) ] 2 d x           ( 1 )

Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!

Passo 2

Utilizando a função na equação (1), temos que:

V   =   π ∫ - 1 3 [ 9 - x 2 ] 2 d x = π ∫ - 1 3 ( 9 - x 2 ) d x

Podemos utilizar que:

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x

e também que:

∫ x n = x n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = π ( ∫ - 1 3 9 d x + ∫ - 1 3 ( - x 2 ) d x ) = π ( 9 ( x ) | 3 - 1 - ( x 3 3 ) | - 1 3 ) = π ( 9 ( 3 - ( - 1 ) )  

= π ( 9 ( 3 - ( - 1 ) - ( ( 3 ) 3 3 - ( - 1 ) 3 3 ) ) = π ( 36 - 28 3 ) = π 3 ( 80 )

Resposta

O volume é dado por:

V   =   80 π 3   u n i d a d e s   c ú b i c a s