No problema 6, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo x .

f(x) = |x| - x; [-3,2]

Passo 1

Opa, belezinha?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo x . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função F ( x ) dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal d x que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.

Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal d V , calculados como:

d V   =   A b a s e × d x   =   π r 2 × d x   =   π [ F ( x ) ] 2 × d x

Temos que A b a s e   é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:

V   =   ∫ x = a x = b d V = ∫ a b π [ F ( x ) ] 2 d x = π ∫ a b [ F ( x ) ] 2 d x           ( 1 )

Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!

Passo 2

Vamos primeiro analisar esta função módulo, apenas para simplificar a nossa vida! Em particular, é possível reescrever a função da seguinte maneira:

Então podemos dividir a função em dois intervalos na resolução da integral, de -3 até 0, e de 0 até 2. Mas note de adicionar o sinal de - na função quando for colocar na integral!

Passo 3

Utilizando a função na equação (1), temos que:

V   =   π ∫ - 3 2 ( | x | - x ) 2 d x = π ∫ - 3 2 | x | 2 d x - 2 π ∫ - 3 2 | x | x d x + π ∫ - 3 2 x 2 d x

Aplicando a expansão da função módulo, temos:

V   = π ∫ - 3 0 ( - x ) 2 d x + π ∫ 0 2 x 2 d x - 2 π ∫ - 3 0 ( - x ) x d x - 2 π ∫ 0 2 ( x ) x d x + π ∫ - 3 2 x 2 d x =  

=   - π ∫ - 3 0 x 2 d x + π ∫ 0 2 x 2 d x + 2 π ∫ - 3 0 x 2 d x - 2 π ∫ 0 2 x 2 d x + π ∫ - 3 2 x 2 d x =

=   π ∫ - 3 0 x 2 d x - π ∫ 0 2 x 2 d x + π ∫ - 3 2 x 2 d x

Podemos utilizar que:

∫ x n = x n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = π ( x 3 3 | 0 - 3 - x 3 3 | 2 0 + x 3 3 | - 3 2 ) = π ( 0 3 3 - ( - 3 ) 3 3 - ( ( 2 ) 3 3 - 0 3 3 ) + ( 2 ) 3 3 - ( - 3 ) 3 3 ) =

= π ( 1 3 ( 27 - 8 + 8 + 27 ) ) = π 3 ( 54 ) = 54 π 3 = 18 π 3

Resposta

O volume é dado por:

V   =   18 π 3   u n i d a d e s   c ú b i c a s