No problema 6, determine o volume do sólido gerado pela revolução da região, sob o gráfico de cada função dentro do intervalo indicado, em torno do eixo .
Passo 1
Opa, belezinha?
Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo . A forma mais simples de fazer isso é utilizando o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.
Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal , calculados como:
Temos que é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:
Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!
Passo 2
Vamos primeiro analisar esta função módulo, apenas para simplificar a nossa vida! Em particular, é possível reescrever a função da seguinte maneira:

Então podemos dividir a função em dois intervalos na resolução da integral, de -3 até 0, e de 0 até 2. Mas note de adicionar o sinal de - na função quando for colocar na integral!
Passo 3
Utilizando a função na equação (1), temos que:
Aplicando a expansão da função módulo, temos:
Podemos utilizar que:
Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:
Resposta
O volume é dado por: