No problema 16, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares ou o método dos anéis circulares.

y = x^2 + 4, y = 2x^2 e menor do que y

Passo 1

Eaew, como vai?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno de um eixo específico. Aqui, nós temos uma região entre duas funções dadas e ao rotacionar isso forma-se um objeto com uma simetria que nos permite calcular o volume através de 2 métodos, que podem ser mais ou menos convenientes dependendo do que está querendo fazer. Sendo estes, o método dos discos circulares e o método dos anéis circulares. A região que o enunciado nos dá é a seguinte:

Para esta questão é conveniente utilizar o método dos anéis circulares, belezinha? Vou explicar o método agora!

Passo 2

O método de anéis circulares se baseia na perspectiva de calcular o volume de anéis infinitesimais formados ao fatiar este sólido. Esses anéis tem um raio externo dado pela função mais externa durante a rotação (em nosso caso x = ± y / 2 ), e o raio interno, dado pela função mais interna durante a rotação (em nosso caso x = ± y - 4 ) .

Para construir as expressão que vamos utilizar vamos identificar que r e x t = f ( y ) , e o raio interno como r i n t = g ( y ) . Ao fatiar o nosso sólido de revolução obtemos anéis de espessura d y . O volume deste anel infinitesimal é então dado por:

d V   =   A b a s e × d y

A área da base é obtida calculando a área de um disco formado pelo giro da função externa f ( y ) , e subtraindo-se a “área do buraco” formado ao girar a função interna g ( y ) , isso é dado da seguinte maneira:

A b a s e = π r e x t 2 - π r i n t 2 = π ( [ f ( y ) ] 2 - [ g ( y ) ] 2 )

Nosso volume é então a soma de todos estes infinitesimais de volume em um intervalo bem estabelecido, ou seja:

V   =   π ∫ a b { [ f ( y ) ] 2 - [ g ( y ) ] 2 } d y           ( 1 )

Utilizando essa equação, podemos finalmente começar a fazer as continhas com os dados que o enunciado passou! Bora lá!

Passo 3

Primeira coisa, precisamos ver quais são os nossos limites de integração. Para isso, vamos ver quando estas duas funções são iguais, olhando a figura no Passo 1 fica bastante claro, mas você pode encontrar isso igualando ambas as funções dada, olha só:

y - 4 = y / 2 →   y - 4 = y / 2 →   2 y - 8 = y →   y = 8

Se observar a figura, é evidente que o y inicia-se em y = 0 e vai até y = 8 . Portanto:

V   =   π ∫ 0 8 { [ y / 2 ] 2 - [ y - 4 ] 2 } d y = π ∫ 0 8 { y / 2 - y + 4 } d y = π ∫ 0 8 { 4 - y / 2 } d y

Podemos utilizar que:

∫ ( f ( y ) + g ( y ) ) d y = ∫ f ( y ) d y + ∫ g ( y ) d y

e também que:

∫ y n = y n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = π ∫ 0 8 { 4 - y / 2 } d y = π ∫ 0 8 4 d y - π ∫ 0 8 y 2 d y = 4 π [ y ] | 8 0 - π 2 [ y 2 2 ] | 8 0 =

= 4 π [ 8 - 0 ] -   π 2 [ 8 2 2 - 0 2 2 ] = 32 π - 16 π = 16 π

Resposta

O volume é dado por:

V   = 16 π     u n i d a d e s   c ú b i c a s