No problema 17, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares ou o método dos anéis circulares.
Passo 1
Eaew, como vai?
Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno de um eixo específico. Aqui, nós temos uma região entre duas funções dadas e ao rotacionar isso forma-se um objeto com uma simetria que nos permite calcular o volume através de 2 métodos, que podem ser mais ou menos convenientes dependendo do que está querendo fazer. Sendo estes, o método dos discos circulares e o método dos anéis circulares. A região que o enunciado nos dá é a seguinte:

Para esta questão é conveniente utilizar o método dos discos circulares, belezinha? Vou explicar o método agora!
Passo 2
Neste problema iremos usar o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.
Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal , calculados como:
Temos que é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:
Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!
Passo 3
Primeira coisa, precisamos ver quais são os nossos limites de integração. Para isso, vamos ver quando estas duas funções são iguais, olhando a figura no Passo 1 fica bastante claro, mas você pode encontrar isso analisando quando , em ambas as expressões acima, obtemos então que:
Se observar a figura, é evidente que o inicia-se em e vai até . No entanto, devemos tomar cuidado neste caso específico. Pois, quando , a função que define nosso raio muda, se aplicar Bhaskara e escolher a raiz positiva, temos que , portanto:
Podemos utilizar que:
e também que:
Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:
Resposta
O volume é dado por: