No problema 17, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares ou o método dos anéis circulares.

y = 12 - x^2, y = x e x = 0 e tornar o eixo y

Passo 1

Eaew, como vai?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno de um eixo específico. Aqui, nós temos uma região entre duas funções dadas e ao rotacionar isso forma-se um objeto com uma simetria que nos permite calcular o volume através de 2 métodos, que podem ser mais ou menos convenientes dependendo do que está querendo fazer. Sendo estes, o método dos discos circulares e o método dos anéis circulares. A região que o enunciado nos dá é a seguinte:

Para esta questão é conveniente utilizar o método dos discos circulares, belezinha? Vou explicar o método agora!

Passo 2

Neste problema iremos usar o método dos discos circulares. Este método consiste em identificar a função f ( y ) dada como o raio de um disco de espessura infinitesimal d y que surge quando se revoluciona (gira) a função em torno do eixo desejado.

Esse disco infinitesimal tem um volume infinitesimal d V , calculados como:

d V   =   A b a s e × d y   =   π r 2 × d y   =   π [ f ( y ) ] 2 × d y

Temos que A b a s e   é a área do disco infinitesimal. Portanto temos que o volume será obtido realizando a soma de todos esses infinitesimais no intervalo desejado, ou seja:

V   =   ∫ y = a y = b d V = ∫ a b π [ f ( y ) ] 2 d y = π ∫ a b [ f ( y ) ] 2 d y           ( 1 )

Espero que tenha ficado um pouquinho mais claro depois dessa explicação, o processo agora é rodar a manivela e utilizar as propriedades de integração para obter o resultado final, então… vamos lá!!

Passo 3

Primeira coisa, precisamos ver quais são os nossos limites de integração. Para isso, vamos ver quando estas duas funções são iguais, olhando a figura no Passo 1 fica bastante claro, mas você pode encontrar isso analisando quando x = 0 , em ambas as expressões acima, obtemos então que:

y   =   0   e   y   =   12

Se observar a figura, é evidente que o y inicia-se em y = 0 e vai até y = 12 . No entanto, devemos tomar cuidado neste caso específico. Pois, quando 12 - x 2 = x , a função que define nosso raio muda, se aplicar Bhaskara e escolher a raiz positiva, temos que y = 3 , portanto:

V   =   π ∫ 0 3 { [ y ] 2 d y + π ∫ 3 12 [ 12 - y ] 2 d y = π ∫ 0 3 y 2 d y + π ∫ 3 12 { 12 - y } d y

Podemos utilizar que:

∫ ( f ( y ) + g ( y ) ) d y = ∫ f ( y ) d y + ∫ g ( y ) d y

e também que:

∫ y n = y n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = π ∫ 0 3 y 2 d y + π ∫ 3 12 12 d y - π ∫ 3 12 y d y = π [ y 3 3 ] | 3 0 + 12 π [ y ] | 12 3 - π [ y 2 2 ] | 12 3 =

= π 3 [ 3 3 - 0 3 ] + 12 π [ 12 - 3 ] - π 2 [ 1 2 2 - 3 2 ] = 9 π + 108 π - 135 π 2 = 99 π 2

Resposta

O volume é dado por:

V   = 99 π 2     u n i d a d e s   c ú b i c a s