No problema 18, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares ou o método dos anéis circulares.

y = 2x, y = x * e ^ x + y = 6 * e ^ (x * x)

Passo 1

Eaew, como vai?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno de um eixo específico. Aqui, nós temos uma região entre duas funções dadas e ao rotacionar isso forma-se um objeto com uma simetria que nos permite calcular o volume através de 2 métodos, que podem ser mais ou menos convenientes dependendo do que está querendo fazer. Sendo estes, o método dos discos circulares e o método dos anéis circulares. A região que o enunciado nos dá é a seguinte:

Para esta questão é conveniente utilizar o método dos anéis circulares, belezinha? Vou explicar o método agora!

Passo 2

O método de anéis circulares se baseia na perspectiva de calcular o volume de anéis infinitesimais formados ao fatiar este sólido. Esses anéis tem um raio externo dado pela função mais externa durante a rotação (em nosso caso y = 2 x até x = 2 e y   =   6 - x de x = 2 até x = 3 ), e o raio interno, dado pela função mais interna durante a rotação (em nosso caso y = 2 x ) .

Para construir as expressão que vamos utilizar vamos identificar que r e x t = f ( x ) , e o raio interno como r i n t = g ( x ) . Ao fatiar o nosso sólido de revolução obtemos anéis de espessura d x . O volume deste anel infinitesimal é então dado por:

d V   =   A b a s e × d x

A área da base é obtida calculando a área de um disco formado pelo giro da função externa f ( x ) , e subtraindo-se a “área do buraco” formado ao girar a função interna g ( x ) , isso é dado da seguinte maneira:

A b a s e = π r e x t 2 - π r i n t 2 = π ( [ f ( x ) ] 2 - [ g ( x ) ] 2 )

Nosso volume é então a soma de todos estes infinitesimais de volume em um intervalo bem estabelecido, ou seja:

V   =   π ∫ a b { [ f ( x ) ] 2 - [ g ( x ) ] 2 } d x           ( 1 )

Utilizando essa equação, podemos finalmente começar a fazer as continhas com os dados que o enunciado passou! Bora lá!

Passo 3

Primeira coisa, precisamos ver quais são os nossos limites de integração. Para isso, vamos ver quando estas três funções são iguais, olhando a figura no Passo 1 fica bastante claro, mas você pode encontrar isso igualando as expressões:

6 - x = 2 x →   3 x = 6 → x = 2

e também:

6 - x = x →   2 x = 6 →   x = 3

E por último:

x   =   2 x →   x = 0

Podemos aplicar a equação (1) para o cálculo do volume. No entanto, devemos tomar cuidado neste caso específico. Pois a função que define nosso raio externo muda em x = 2 , portanto:

V   =   π ∫ 0 2 { [ 2 x ] 2 - [ x ] 2 } d x + π ∫ 2 3 { [ 6 - x ] 2 - [ x ] 2 } d x =

= π ∫ 0 2 { 4 x 2 - x 2 } d x + π ∫ 2 3 { 36 - 12 x + x 2 - x 2 } d x = π ∫ 0 2 { 3 x 2 } d x + π ∫ 2 3 { 36 - 12 x } d x

Podemos utilizar que:

∫ ( f ( y ) + g ( y ) ) d y = ∫ f ( y ) d y + ∫ g ( y ) d y

e também que:

∫ y n = y n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V = π ∫ 0 2 { 3 x 2 } d x + π ∫ 2 3 { 36 - 12 x } d x = 3 π ∫ 0 2 x 2 d x + 36 π ∫ 2 3 d x - 12 π ∫ 2 3 x d x =

= 3 π [ x 3 3 ] | 2 0 + 36 π [ x ] | 3 2 - 12 π [ x 2 2 ] | 3 2 =

= π [ 2 3 - 0 3 ] + 36 π [ 3 - 2 ] - 6 π [ 3 2 - 2 2 ] = 8 π + 36 π - 30 π = 14 π

Resposta

O volume é dado por:

V   = 14 π     u n i d a d e s   c ú b i c a s