No problema 20, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares ou o método dos anéis circulares.

y = 3x, y = x * e * x + y = 8 * e * m * t * o * r * n * o * d * o * e * i * x * o * y

Passo 1

Eaew, como vai?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno de um eixo específico. Aqui, nós temos uma região entre duas funções dadas e ao rotacionar isso forma-se um objeto com uma simetria que nos permite calcular o volume através de 2 métodos, que podem ser mais ou menos convenientes dependendo do que está querendo fazer. Sendo estes, o método dos discos circulares e o método dos anéis circulares. A região que o enunciado nos dá é a seguinte:

Para esta questão é conveniente utilizar o método dos anéis circulares, belezinha? Vou explicar o método agora!

Passo 2

O método de anéis circulares se baseia na perspectiva de calcular o volume de anéis infinitesimais formados ao fatiar este sólido. Esses anéis tem um raio externo dado pela função mais externa durante a rotação (em nosso caso x = y até y = 4 e x = 8 - y de y = 4 até y = 6 ), e o raio interno, dado pela função mais interna durante a rotação (em nosso caso x = y / 3 ) .

Para construir as expressão que vamos utilizar vamos identificar que r e x t = f ( y ) , e o raio interno como r i n t = g ( y ) . Ao fatiar o nosso sólido de revolução obtemos anéis de espessura d y . O volume deste anel infinitesimal é então dado por:

d V   =   A b a s e × d y

A área da base é obtida calculando a área de um disco formado pelo giro da função externa f ( y ) , e subtraindo-se a “área do buraco” formado ao girar a função interna g ( y ) , isso é dado da seguinte maneira:

A b a s e = π r e x t 2 - π r i n t 2 = π ( [ f ( y ) ] 2 - [ g ( y ) ] 2 )

Nosso volume é então a soma de todos estes infinitesimais de volume em um intervalo bem estabelecido, ou seja:

V   =   π ∫ a b { [ f ( y ) ] 2 - [ g ( y ) ] 2 } d y           ( 1 )

Utilizando essa equação, podemos finalmente começar a fazer as continhas com os dados que o enunciado passou! Bora lá!

Passo 3

Primeira coisa, precisamos ver quais são os nossos limites de integração. Para isso, vamos ver quando estas três funções são iguais. Em nosso caso, temos y = x , temos y = 3 x , e elas interceptam a função y = 8 - x , nos pontos C = ( 2,6 ) e B = ( 4,4 ) , e as duas se interceptam em A = ( 0,0 ) . Podemos aplicar a equação (1) para o cálculo do volume, mas devemos tomar cuidado, pois a função que estabelece o raio externo muda quando y = 4 , portanto:

V   =   π ∫ 0 4 { [ y ] 2 - [ y / 3 ] 2 } d y + π ∫ 4 6 { [ 8 - y ] 2 - [ y / 3 ] 2 } d y =  

=   π ∫ 0 4 { y 2 - y 2 / 9 } d y + π ∫ 4 6 { 64 - 16 y + y 2 - y 2 / 9 } d y =

= 8 π 9 ∫ 0 4 { y 2 } d y + π ∫ 4 6 { 64 - 16 y + 8 y 2 9 } d y

Podemos utilizar que:

∫ ( f ( y ) + g ( y ) ) d y = ∫ f ( y ) d y + ∫ g ( y ) d y

e também que:

∫ y n = y n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V = 8 π 9 ∫ 0 4 { y 2 } d y + 64 π ∫ 4 6 d y - 16 π ∫ 4 6 y d y + 8 π 9 ∫ 4 6 y 2 d y =

= 8 π 9 [ y 3 3 ] | 4 0 + 64 π [ y ] | 6 4 - 16 π [ y 2 2 ] | 6 4 + 8 π 9 [ y 3 3 ] | 6 4 =

= 8 π 27 [ 4 3 - 0 3 ] + 64 π [ 6 - 4 ] - 8 π [ 6 2 - 4 2 ] + 8 π 27 [ 6 3 - 4 3 ] =

= 512 π 27 + 128 π - 160 π + 1216 π 27 = 512 π + 3456 π - 4320 π + 1216 π 27 = 864 π 27 = 32 π

Resposta

O volume é dado por:

V   = 32 π     u n i d a d e s   c ú b i c a s