No problema 15, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares ou o método dos anéis circulares.
Passo 1
Eaew, como vai?
Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno de um eixo específico. Aqui, nós temos uma região entre duas funções dadas e ao rotacionar isso forma-se um objeto com uma simetria que nos permite calcular o volume através de 2 métodos, que podem ser mais ou menos convenientes dependendo do que está querendo fazer. Sendo estes, o método dos discos circulares e o método dos anéis circulares. A região que o enunciado nos dá é a seguinte:

Para esta questão é conveniente utilizar o método dos anéis circulares, belezinha? Vou explicar o método agora!
Passo 2
O método de anéis circulares se baseia na perspectiva de calcular o volume de anéis infinitesimais formados ao fatiar este sólido. Esses anéis tem um raio externo dado pela função mais externa durante a rotação (em nosso caso ), e o raio interno, dado pela função mais interna durante a rotação (em nosso caso ) .
Para construir as expressão que vamos utilizar vamos identificar que , e o raio interno como . Ao fatiar o nosso sólido de revolução obtemos anéis de espessura . O volume deste anel infinitesimal é então dado por:
A área da base é obtida calculando a área de um disco formado pelo giro da função externa , e subtraindo-se a “área do buraco” formado ao girar a função interna , isso é dado da seguinte maneira:
Nosso volume é então a soma de todos estes infinitesimais de volume em um intervalo bem estabelecido, ou seja:
Utilizando essa equação, podemos finalmente começar a fazer as continhas com os dados que o enunciado passou! Bora lá!
Passo 3
Primeira coisa, precisamos ver quais são os nossos limites de integração. Para isso, vamos ver quando estas duas funções são iguais, olhando a figura no Passo 1 fica bastante claro, mas você pode encontrar isso igualando ambas as funções dada, olha só:
Se testar valores, vai perceber que a igualdade é válida para e . Utilizando as funções na equação (1), temos que:
Podemos utilizar que:
e também que:
Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:
Resposta
O volume é dado por: