No problema 15, determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado. Use o método dos discos circulares ou o método dos anéis circulares.

y = x^2, y = x e m t o r n o d e i x o y

Passo 1

Eaew, como vai?

Esta questão nos pede para calcular o volume de um sólido de revolução em torno de um eixo específico. Aqui, nós temos uma região entre duas funções dadas e ao rotacionar isso forma-se um objeto com uma simetria que nos permite calcular o volume através de 2 métodos, que podem ser mais ou menos convenientes dependendo do que está querendo fazer. Sendo estes, o método dos discos circulares e o método dos anéis circulares. A região que o enunciado nos dá é a seguinte:

Para esta questão é conveniente utilizar o método dos anéis circulares, belezinha? Vou explicar o método agora!

Passo 2

O método de anéis circulares se baseia na perspectiva de calcular o volume de anéis infinitesimais formados ao fatiar este sólido. Esses anéis tem um raio externo dado pela função mais externa durante a rotação (em nosso caso x = y ), e o raio interno, dado pela função mais interna durante a rotação (em nosso caso x =   y ) .

Para construir as expressão que vamos utilizar vamos identificar que r e x t = f ( y ) , e o raio interno como r i n t = g ( y ) . Ao fatiar o nosso sólido de revolução obtemos anéis de espessura d y . O volume deste anel infinitesimal é então dado por:

d V   =   A b a s e × d y

A área da base é obtida calculando a área de um disco formado pelo giro da função externa f ( y ) , e subtraindo-se a “área do buraco” formado ao girar a função interna g ( y ) , isso é dado da seguinte maneira:

A b a s e = π r e x t 2 - π r i n t 2 = π ( [ f ( y ) ] 2 - [ g ( y ) ] 2 )

Nosso volume é então a soma de todos estes infinitesimais de volume em um intervalo bem estabelecido, ou seja:

V   =   π ∫ a b { [ f ( y ) ] 2 - [ g ( y ) ] 2 } d y           ( 1 )

Utilizando essa equação, podemos finalmente começar a fazer as continhas com os dados que o enunciado passou! Bora lá!

Passo 3

Primeira coisa, precisamos ver quais são os nossos limites de integração. Para isso, vamos ver quando estas duas funções são iguais, olhando a figura no Passo 1 fica bastante claro, mas você pode encontrar isso igualando ambas as funções dada, olha só:

y = y

Se testar valores, vai perceber que a igualdade é válida para y = 0 e y = 1 . Utilizando as funções na equação (1), temos que:

V   =   π ∫ 0 1 { [ y ] 2 - [ y ] 2 } d y = π ∫ 0 1 { y - y 2 } d y

Podemos utilizar que:

∫ ( f ( y ) + g ( y ) ) d y = ∫ f ( y ) d y + ∫ g ( y ) d y

e também que:

∫ y n = y n + 1 n + 1 + C

Portanto (lembrando de avaliar nos limites de integração, final menos inicial) temos:

V   = π ∫ 0 1 { y - y 2 } d y = π ∫ 0 1 y d y - π ∫ 0 1 y 2 d y = π [ y 2 2 ] | 1 0 - π [ y 3 3 ] | 1 0 =

=   π [ 1 2 2 - 0 2 2 ] - π [ 1 3 3 - 0 3 3 ] = π 2 - π 3 = 3 π - 2 π 6 = π 6

Resposta

O volume é dado por:

V   = π     u n i d a d e s   c ú b i c a s