No problema 19, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.

f(y) = (2y - 1)(4y^2 + 7)

Passo 1

Para realizarmos a diferenciação desta função será necessário utilizar as regras de Leibniz (conhecida como regra do produto), homogeneidade, soma, potência, identidade e constante. Inicialmente, pela regra de Leibniz, temos:

f ' ( y )   =   d d y ( ( 2 y - 1 ) ( 4 y 2 + 7 ) )   =   ( d d y ( 2 y - 1 ) ) ( 4 y 2 + 7 ) + ( 2 y - 1 ) d d y ( 4 y 2 + 7 )

Passo 2

Utilizando a regra da soma em ambos os termos, temos:

f ' ( y )   = ( d d y ( 2 y ) + d d y ( - 1 ) ) ( 4 y 2 + 7 ) + ( 2 y - 1 ) ( d d y ( 4 y 2 ) + d d y ( 7 ) )  

Passo 3

Aplicando a regra da homogeneidade onde for necessário, juntamente com a regra da identidade na primeira derivada no primeiro termo, lembrando também que a regra da constante anula a última derivada no primeiro e segundo termo. Aplicando também a regra da potência nas derivadas restantes temos:

f ' ( y ) = ( 2 ( 1 ) ) ( 4 y 2 + 7 ) + ( 2 y - 1 ) ( 4 ( 2 y 2 - 1 ) )

f ' ( y ) = 2 ( 4 y 2 + 7 ) + ( 2 y - 1 ) ( 8 y )

Apenas simplificando alguns termos, temos:

f ' ( y )   =   8 y 2 + 14 + 16 y 2 - 8 y = 24 y 2 - 8 y + 14

Resposta

Finalmente:

f ' ( y )   =   24 y 2 - 8 y + 14