No problema 18, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.

g(x) = (3x - x^2)(3x^3 - 4)

Passo 1

Para realizarmos a diferenciação desta função será necessário utilizar as regras de Leibniz (conhecida como regra do produto), homogeneidade, soma, potência, identidade e constante. Inicialmente, pela regra de Leibniz, temos:

g ' ( x )   =   d d x ( ( 3 x - x 2 ) ( 3 x 3 - 4 ) )   =   ( d d x ( 3 x - x 2 ) ) ( 3 x 3 - 4 ) + ( 3 x - x 2 ) d d x ( 3 x 3 - 4 )

Passo 2

Utilizando a regra da soma em ambos os termos, temos:

g ' ( x )   = ( d d x ( 3 x ) + d d x ( - x 2 ) ) ( 3 x 3 - 4 ) + ( 3 x - x 2 ) ( d d x ( 3 x 3 ) + d d x ( - 4 ) )  

Passo 3

Aplicando a regra da homogeneidade onde for necessário, juntamente com a regra da identidade na primeira derivada no primeiro termo, lembrando também que a regra da constante anula a última derivada no segundo termo. Aplicando também a regra da potência onde nas derivadas restantes temos:

g ' ( x ) = ( 3 ( 1 ) - 2 x 2 - 1 ) ( 3 x 3 - 4 ) + ( 3 x - x 2 ) ( 3 ( 3 x 3 - 1 ) )

g ' ( x ) = ( 3 - 2 x ) ( 3 x 3 - 4 ) + ( 3 x - x 2 ) ( 9 x 2 )

Apenas simplificando alguns termos, temos:

g ' ( x )   =   9 x 3 - 12 - 6 x 4 + 8 x + 27 x 3 - 9 x 4

g ' ( x ) =   15 x 4 + 36 x 3 + 8 x - 12

Resposta

Finalmente:

g ' ( x )   =   15 x 4 + 36 x 3 + 8 x - 12