No problema 15, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.

F(x) = x^2 * (3x^3 - 1)

Passo 1

Para realizarmos a diferenciação desta função será necessário utilizar as regras de Leibniz (conhecida como regra do produto), homogeneidade, soma, potência e constante. Inicialmente, pela regra de Leibniz, temos:

F ' ( x )   =   d d x ( x 2 ( 3 x 3 - 1 ) )   =   ( d d x ( x 2 ) ) ( 3 x 3 - 1 ) + x 2 d d x ( 3 x 3 - 1 )

Passo 2

Utilizando agora a regra da potência no primeiro termo e a regra da soma no segundo termo, temos:

F ' ( x )   =   ( 2 x 2 - 1 ) ( 3 x 3 - 1 ) + x 2 ( d d x ( 3 x 3 ) + d d x ( - 1 ) )

Passo 3

Utilizando a regra da homogeneidade e potência para a primeira derivada do segundo termo, e lembrando que a regra da constante anula a segunda derivada do segundo termo, temos que:

F ' ( x ) =   2 x ( 3 x 3 - 1 ) + x 2 ( 3 ( 3 x 3 - 1 ) ) = 2 x ( 3 x 3 - 1 ) + 9 x 2 ( x 2 ) = 2 x ( 3 x 3 - 1 ) + 9 x 4

Apenas simplificando alguns termos, temos:

F ' ( x )   =   6 x 4 - 2 x + 9 x 4 = 15 x 4 - 2 x

Resposta

Finalmente:

F ' ( x )   = 15 x 4 - 2 x