No problema 17, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.

G(x) = (x^2 + 3x)(x^3 - 9x)

Passo 1

Para realizarmos a diferenciação desta função será necessário utilizar as regras de Leibniz (conhecida como regra do produto), homogeneidade, soma, potência e identidade. Inicialmente, pela regra de Leibniz, temos:

G ' ( x )   =   d d x ( ( x 2 + 3 x ) ( x 3 - 9 x ) )   =   ( d d x ( x 2 + 3 x ) ) ( x 3 - 9 x ) + ( x 2 + 3 x ) d d x ( x 3 - 9 x )

Passo 2

Utilizando a regra da soma em ambos os termos, temos:

G ' ( x )   = ( d d x ( x 2 ) + d d x ( 3 x ) ) ( x 3 - 9 x ) + ( x 2 + 3 x ) ( d d x ( x 3 ) + d d x ( - 9 x ) )  

Passo 3

Aplicando a regra da identidade na segunda derivada em cada termo, assim como a regra da potência em conjunto com a regra da homogeneidade nas derivadas restantes, temos:

G ' ( x ) = ( 2 x 2 - 1 + 3 ( 1 ) ) ( x 3 - 9 x ) + ( x 2 + 3 x ) ( 3 x 3 - 1 - 9 ( 1 ) )

G ' ( x ) = ( 2 x + 3 ) ( x 3 - 9 x ) + ( x 2 + 3 x ) ( 3 x 2 - 9 )

Apenas simplificando alguns termos, temos:

G ' ( x )   =   2 x 4 - 18 x 2 + 3 x 3 - 27 x + 3 x 4 - 9 x 2 + 9 x 3 - 27 x

' ( x ) = 5 x 4 + 12 x 3 - 27 x 2 - 54 x

Resposta

Finalmente:

G ' ( x )   =   5 x 4 + 12 x 3 - 27 x 2 - 54 x