No problema 16, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.

f(x) = (x^2 + 1)(2x^3 + 5)

Passo 1

Para realizarmos a diferenciação desta função será necessário utilizar as regras de Leibniz (conhecida como regra do produto), homogeneidade, soma, potência e constante. Inicialmente, pela regra de Leibniz, temos:

f ' ( x )   =   d d x ( ( x 2 + 1 ) ( 2 x 3 + 5 ) )   =   ( d d x ( x 2 + 1 ) ) ( 2 x 3 + 5 ) + ( x 2 + 1 ) d d x ( 2 x 3 + 5 )

Passo 2

Utilizando a regra da soma em ambos os termos, temos:

f ' ( x )   =   ( d d x ( x 2 ) + d d x ( 1 ) ) ( 2 x 3 + 5 ) + ( x 2 + 1 ) ( d d x ( 2 x 3 ) + d d x ( 5 ) )

Passo 3

Lembrando que a regra da constante nos diz que a segunda derivada do primeiro termo e a segunda derivada do segundo termo se anulam. E também, aplicando a regra da potência em conjunto com a regra da homogeneidade nos termos restantes, temos:

f ' ( x ) = ( 2 x 2 - 1 ) ( 2 x 3 + 5 ) + ( x 2 + 1 ) ( 2 ( x 3 - 1 ) )   = 2 x ( 2 x 3 + 5 ) + ( x 2 + 1 ) ( 2 x 2 )

Apenas simplificando alguns termos, temos:

f ' ( x )   =   4 x 4 + 10 x + 2 x 4 + 2 x 2 = 6 x 4 + 2 x 2 + 10 x

Resposta

Finalmente:

f ' ( x )   = 6 x 4 + 2 x 2 + 10 x