No problema 20, diferencie cada função aplicando as regras básicas para diferenciação.

f(t) = (6*t^2 + 7)^2

Passo 1

Primeiramente gostaria de apontar que este exercício poderia ser resolvido de maneira mais direta utilizando a regra da cadeia, mas a seção do livro ao qual este exercício pertence não utiliza deste método, portanto vamos reescrever a função da seguinte maneira:

f ( t )   =   ( 6 t 2 + 7 ) ( 6 t 2 + 7 )

Para realizarmos a diferenciação desta função será necessário utilizar as regras de Leibniz (conhecida como regra do produto), homogeneidade, soma, potência e constante. Inicialmente, pela regra de Leibniz, temos:

f ' ( t )   =   d d t ( ( 6 t 2 + 7 ) ( 6 t 2 + 7 ) )   =   ( d d t ( 6 t 2 + 7 ) ) ( 6 t 2 + 7 ) + ( 6 t 2 + 7 ) d d t ( 6 t 2 + 7 )

Passo 2

Utilizando a regra da soma em ambos os termos, temos:

f ' ( t )   = ( d d t ( 6 t 2 ) + d d t ( 7 ) ) ( 6 t 2 + 7 ) + ( 6 t 2 + 7 ) ( d d t ( 6 t 2 ) + d d t ( 7 ) )  

Passo 3

Aplicando a regra da homogeneidade onde for necessário, lembrando também que a regra da constante anula a última derivada no primeiro e segundo termo. Aplicando a regra da potência nas derivadas restantes temos:

f ' ( t ) = ( 6 ( 2 t 2 - 1 ) ) ( 6 t 2 + 7 ) + ( 6 t 2 + 7 ) ( 6 ( 2 t 2 - 1 ) )

f ' ( t ) = 12 t ( 6 t 2 + 7 ) + ( 6 t 2 + 7 ) ( 12 t )

Apenas simplificando alguns termos, temos:

f ' ( t )   =   24 t ( 6 t 2 + 7 )

Resposta

Finalmente:

f ' ( t )   =   24 t ( 6 t 2 + 7 )