No problema 16, encontre um valor numérico explícito de tal que em que a reta tangente ao gráfico de cada função em seja paralela à secante entre os pontos e . Esboce o gráfico de e mostre a tangente e a secante.
Passo 1
Oiii, tudo certinho contigo?
Não precisa ficar nervoso que este problema é muito mais fácil do que ele parece, beleza? Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema do valor médio:
Se temos uma função que é bem definida e contínua em um intervalo fechado , assim como, diferenciável no intervalo aberto , então, para um valor qualquer, a reta tangente a esse ponto é paralela à uma reta que passe pelos pontos A e B. Igualzinho na figura abaixo (Contém spoilers dos passos a seguir).

Acho que vamos precisar de um pequeno zoom para ver a reta tangente e a secante, note que quanto menor for o intervalo dado, mais próxima a reta tangente é da secante!!!

Na imagem temos que e . Nossa função é contínua e diferenciável (Se estiver com ânimo, tente verificar!!!), portanto não teremos nenhum problema aqui. Vamos lembrar como se calcula a inclinação da reta tangente tendo em vista a validade do teorema acima.
Passo 2
A inclinação que citei no passo anterior é calculada assim:
nos dá exatamente a inclinação desta reta tangente no ponto , a expressão no entanto só vale se as condições do teorema forem válidas, okay? Note que a fração ali é a inclinação da reta que passa pelos pontos e , ou seja, a reta secante!!!
Passo 3
Vamos aqui rapidinho calcular a derivada da função dada utilizando as regrinhas que todos já estamos craques em fazer. Para este caso é interessante utilizar a regra da potência junto com a regra da cadeia:
Passo 4
Aplicando então para um valor qualquer , temos que:
Nós temos também que:
Ou seja:
Isolando , temos:
Resposta
A resposta está no final do Passo 4 e o esboço deve ficar igual ao que está no Passo 1.