No problema 16, encontre um valor numérico explícito de c tal que a < c < b em que a reta tangente ao gráfico de cada função f em (c, f(c)) seja paralela à secante entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)) . Esboce o gráfico de f e mostre a tangente e a secante.

f(x) = 1 / (x - 1), a = 1,5; b = 1,6

Passo 1

Oiii, tudo certinho contigo?

Não precisa ficar nervoso que este problema é muito mais fácil do que ele parece, beleza? Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema do valor médio:

Se temos uma função f que é bem definida e contínua em um intervalo fechado [ a , b ] , assim como, diferenciável no intervalo aberto ( a , b ) , então, para um valor c qualquer, a reta tangente a esse ponto é paralela à uma reta que passe pelos pontos A e B. Igualzinho na figura abaixo (Contém spoilers dos passos a seguir).

Acho que vamos precisar de um pequeno zoom para ver a reta tangente e a secante, note que quanto menor for o intervalo dado, mais próxima a reta tangente é da secante!!!

Na imagem temos que A = ( a , f ( a ) ) e B   =   ( b , f ( b ) ) . Nossa função é contínua e diferenciável (Se estiver com ânimo, tente verificar!!!), portanto não teremos nenhum problema aqui. Vamos lembrar como se calcula a inclinação da reta tangente tendo em vista a validade do teorema acima.

Passo 2

A inclinação que citei no passo anterior é calculada assim:

f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f ' ( c )   →   f ' ( c )   =   f ( b ) - f ( a ) ( b - a )

nos dá exatamente a inclinação desta reta tangente no ponto c , a expressão no entanto só vale se as condições do teorema forem válidas, okay? Note que a fração ali é a inclinação da reta que passa pelos pontos ( a , f ( a ) ) e ( b , f ( b ) ) , ou seja, a reta secante!!!

Passo 3

Vamos aqui rapidinho calcular a derivada da função dada utilizando as regrinhas que todos já estamos craques em fazer. Para este caso é interessante utilizar a regra da potência junto com a regra da cadeia:

f ' ( x ) = - 1 ( x - 1 ) - 1 - 1 ( 1 x 1 - 1 ) = - 1 ( x - 1 ) 2

Passo 4

Aplicando então f ' ( x ) para um valor qualquer c , temos que:

f ' ( c )   =   - 1 ( c - 1 ) 2

Nós temos também que:

f ( a )   =   f ( 1,5 )   = 1 1,5 - 1 = 1 0,5 = 2

f ( b )   =   f ( 1,6 )   = 1 1,6 - 1 = 1 0,6 ≈ 1,67

Ou seja:

- 1 ( c - 1 ) 2 = 1,67 - 2 1,6 - 1,5   = - 0,33 0,1 ≈ - 3,33  

Isolando c , temos:

c   ≈ 1,55

Resposta

A resposta está no final do Passo 4 e o esboço deve ficar igual ao que está no Passo 1.