No problema 7, uma partícula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação dada, onde s é a distância em metros da partícula ao seu ponto de partida no final de t segundos. Calcule

(b) A velocidade instantânea da partícula quando t = t₁.

s = t^2 + t, t1 = 3, t2 = 4

Passo 1

Podemos fazer diretamente:

Δ s Δ t   =   s 2   - s 1 t 2 - t 1 = s ( t 2 ) - s ( t 1 ) t 2 - t 1

Lembrando que:

Δ t   =   t 2 -   t 1         →         t 2 = t 1 + Δ t

temos:

Δ s Δ t   = s ( t 1 + Δ t ) - s ( t 1 ) Δ t  

Para um Δ t → 0 temos uma velocidade instantânea dada como:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = l i m Δ t → 0 s ( t 1 + Δ t ) - s ( t 1 ) Δ t       ( 1 )

Passo 2

Utilizando s dada temos:

s ( t 1 ) = ( 3 ) 2 + 3 = 12   m

também temos:

s ( t 1 + Δ t )   =   ( 3 + Δ t ) 2 + ( 3 + Δ t )

Passo 3

Podemos substituir em (1) para obter:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = l i m Δ t → 0 [ ( 3 + Δ t ) 2 + ( 3 + Δ t ) ] - 12 Δ t

Expandindo o produto notável temos:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = l i m Δ t → 0 9   +   6 Δ t   + Δ t 2   +   3   +   Δ t - 12 Δ t = l i m Δ t → 0 7 Δ t + Δ t 2 Δ t

Simplificando Δ t , temos:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = l i m Δ t → 0 7 +   Δ t

Resposta

Portanto:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = 7   m s