No problema 6, uma partícula se move sobre uma linha reta de acordo com a equação dada, onde s é a distância em metros da partícula ao seu ponto de partida no final de t segundos. Calcule

(b) A velocidade instantânea da partícula quando t = t1.

s = 7 * t^3, t_1 = 1, t_2 = 2

Passo 1

Podemos fazer diretamente:

Δ s Δ t   =   s 2   - s 1 t 2 - t 1 = s ( t 2 ) - s ( t 1 ) t 2 - t 1

Lembrando que:

Δ t   =   t 2 -   t 1         →         t 2 = t 1 + Δ t

temos:

Δ s Δ t   = s ( t 1 + Δ t ) - s ( t 1 ) Δ t  

Para um Δ t → 0 temos uma velocidade instantânea dada como:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = l i m Δ t → 0 s ( t 1 + Δ t ) - s ( t 1 ) Δ t       ( 1 )

Passo 2

Utilizando s dada temos:

s ( t 1 ) = 7 ( 1 ) 3 = 7   m

também temos:

s ( t 1 + Δ t )   =   7 ( 1 + Δ t ) 3

Passo 3

Podemos substituir em (1) para obter:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = l i m Δ t → 0 [ 7 ( 1 + Δ t ) 3 ] - 7 Δ t

Expandindo o produto notável temos:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = l i m Δ t → 0 [ 7 ( 1 + 3 Δ t + 3 Δ t 2 + Δ t 3 ) ] - 7 Δ t = l i m Δ t → 0 21 Δ t + 21 Δ 2 + 7 Δ t 3 Δ t

Simplificando Δ t , temos:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = l i m Δ t → 0 21 + 21 Δ t + 7 Δ t 2

Resposta

Portanto:

l i m Δ t   → 0 Δ s Δ t = 21   m s