No problema 4, suponha y = f(x) como dado.

(b) Calcule a taxa de variação instantânea de y em relação a x no instante em que x = x₁.

y = f(x) = 4 / x, x1 = 5, x2 = 6

Passo 1

Temos inicialmente a seguinte razão:

Δ y Δ x   =   y 2   - y 1 x 2 - x 1 = f ( x 2 ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1

Lembrando que Δ x   =   x 2 - x 1 e, portanto, x 2 =   x 1 + Δ x , temos:

Δ y Δ x =   f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x (1)

A taxa de variação instantânea em x   =   x 1 é obtida quando:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x =   l i m Δ x   → 0 f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x (2)

Passo 2

Utilizando f ( x ) dada temos:

f ( x 1 ) =   4 5 = 0,8

e também temos que:

f ( x 1 + Δ x )   =   f ( 5   +   Δ x )   = 4 5 + Δ x  

Passo 3

Podemos substituir em (2) para obter:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x =   l i m Δ x   → 0 4 5 + Δ x - 4 5 Δ x

Evidenciando o termo 1 5 + Δ x podemos escrever:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x =   l i m Δ x   → 0 1 ( 5 + Δ x ) Δ x [ 4   -   4 5 ( 5 + Δ x ) ] = 1 ( 5 + Δ x ) Δ x ( - 4 Δ x 5 )

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x =   l i m Δ x   → 0 - 4 5 ( 5 + Δ x ) = - 4 25

Resposta

Obtendo:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x = - 4 25 ≈ - 0,16