No problema 3, suponha y = f(x) como dado.

(b) Calcule a taxa de variação instantânea de y em relação a x no instante em que x = x₁.

y = f(x) = x^2 + x + 1, x1 = 3, x2 = 3,5

Passo 1

Temos inicialmente a seguinte razão:

Δ y Δ x   =   y 2   - y 1 x 2 - x 1 = f ( x 2 ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1

Lembrando que Δ x   =   x 2 - x 1 e, portanto, x 2 =   x 1 + Δ x , temos:

Δ y Δ x =   f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x (1)

A taxa de variação instantânea em x   =   x 1 é obtida quando:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x =   l i m Δ x   → 0 f ( x 1 + Δ x ) - f ( x 1 ) Δ x (2)

Passo 2

Utilizando f ( x ) dada temos:

f ( x 1 ) =   ( 3 ) 2 + 3 + 1 = 13

e também temos que:

f ( x 1 + Δ x )   =   f ( 3   +   Δ x )   = ( 3 + Δ x ) 2 + ( 3 + Δ x ) + 1  

Passo 3

Podemos substituir em (2) para obter:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x =   l i m Δ x   → 0 [ ( 3 + Δ x ) 2 + ( 3 + Δ x ) + 1 ] - [ 13 ] Δ x

Simplificando alguns valores e abrindo o produto notável no primeiro termo, temos:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x =   l i m Δ x   → 0 7 Δ x +   Δ x 2   Δ x

Passo 4

Simplificando o limite, temos que:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x =   l i m Δ x   → 0 7 + Δ x

Resposta

Obtendo:

l i m Δ x   → 0 Δ y Δ x = 7