No problema 1, use o teorema do valor intermediário para verificar que cada função f possui um zero (isto é, uma raiz) no intervalo indicado.

f(x) = x^2 - 2 entre 1,4 e 1,5

Passo 1

Eaew, beleza?

Este problema não é difícil, então não se preocupe, Okay?. Ele se trata de uma aplicação direta do “teorema do valor intermediário”.

Este teorema pede uma coisinha bem simples: A função f deve ser contínua em um intervalo fechado [ a , b ] . E isso garante para a gente que se temos um valor qualquer k que esteja entre f ( a ) e f ( b ) , então temos que existe com certeza um valor de x = c tal que f ( c ) = k .

Mas, e daí? Como isso nos ajuda a provar que existe uma raiz no intervalo dado? É bem simples, se k = 0 , então temos que c é uma raiz. Vamos então checar se no intervalo dado é possível ter um zero.

Passo 2

Primeiro vamos checar se f é contínua. (Se conseguir ver o gráfico dela é bem direto, apenas cheque se consegue rascunhar o gráfico sem tirar o lápis do papel), aqui para esse problema é suficiente perceber que f é um polinômio de grau 2, então ela é contínua com certeza.

Beleza!!

Nós queremos saber se existe uma raiz no intervalo [ 1,4 ; 1,5 ] , como está escrito no enunciado! Vamos então calcular quanto vale a função nos dois intervalos:

f ( 1,4 ) = ( 1,4 ) 2 - 2   =   - 0,04

e também:

f ( 1,5 ) = ( 1,5 ) 2 - 2   =   0,25

Maravilha!! Tendo estes valores já é o suficiente para dizer se a raiz existe!! E aí? Consegue adivinhar porquê? Vamos para o próximo passo!

Passo 3

E então? Percebeu? Note que f ( 1,4 ) < 0 e f ( 1,5 ) > 0 , então, como f é contínua, com certeza existe um x = c em que f ( c ) = 0 . Temos então uma raiz, como queríamos demonstrar! Se não ficou claro o porquê, imagine um gráfico que a linha começa abaixo do eixo x , cruza o eixo, e então está acima do eixo x . Se f ( a ) está abaixo do eixo (Valor negativo) e f ( b ) está acima do eixo (Valor positivo), então com certeza cruzamos o eixo f ( c ) = 0 .

Resposta

A resposta está ao longo do desenvolvimento do Passo 3.