No problema 12, verifique as hipóteses do teorema do valor médio para cada função no intervalo [a, b] . Então ache um valor numérico explícito de c no intervalo (a, b) tal que f(b) - f(a) = (b - c) f'(c) .

f(x) = (x^2 - 2x - 3) / (x + 4), [a, b] = [-1, 3]

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Prometo que este problema não é difícil, está bom? Mas vamos com calma! Primeiro, sobre o que fala este teorema?

Se temos uma função f que é bem definida e contínua em um intervalo fechado [ a , b ] , assim como, diferenciável no intervalo aberto ( a , b ) , então, para um valor c qualquer, a reta tangente a esse ponto é paralela à uma reta que passe pelos pontos A e B. Igualzinho na figura abaixo (Contém spoilers dos passos a seguir).

Na imagem temos que A = ( a , f ( a ) ) e B   =   ( b , f ( b ) ) . Sabendo então o que diz o teorema, vamos verificar todas as condições para f ( x ) dada.

Passo 2

A função f é bem definida para x ≠ - 4 , como nosso intervalo é estabelecido apenas no intervalo [ - 1,3 ] , não teremos problemas aqui. Também é possível verificar ponto a ponto fazendo os limites laterais da função para cada ponto do intervalo dado que ela é contínua.

A função f será diferenciável se o seguinte limite:

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 ± f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

Temos:

f ' ( x )   =   l i m Δ x   → 0 ± ( x + Δ x ) 2 - 2 ( x + Δ x ) - 3 ( x + Δ x ) + 4 - x 2 - 2 x - 3 x + 4 Δ x   = l i m Δ x → 0 ± [ ( x + Δ x ) 2 - 2 ( x + Δ x ) - 3 ] ( x + 4 ) - ( x 2 - 2 x - 3 ) [ ( x + Δ x ) + 4 ] Δ x ( x + Δ x + 4 ) ( x + 4 )  

f ' ( x )   =   l i m Δ x → 0 ± [ x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 - 2 x - 2 Δ x - 3 ] ( x + 4 ) - ( x 3 + x 2 Δ x + 2 x 2 - 2 x Δ x - 11 x - 3 Δ x - 12 ) Δ x ( x + Δ x + 4 ) ( x + 4 )

f ' ( x )   =   l i m Δ x → 0 ± 2 x 2 Δ x + x Δ x 2 + 6 x Δ x + 4 Δ x 2 - 8 Δ x - ( + x 2 Δ x - 2 x Δ x - 3 Δ x ) Δ x ( x + Δ x + 4 ) ( x + 4 )

f ' ( x ) = l i m Δ x → 0 ± 2 x 2 + x Δ x + 8 x + 4 Δ x - 5 - x 2 ( x + Δ x + 4 ) ( x + 4 ) = x 2 + 8 x - 5 ( x + 4 ) 2

f ' ( x )   =   x 2 + 8 x - 5 ( x + 4 ) 2

Seja um valor finito, e igual se tomado pela direita ( + ) ou pela esquerda ( - ) , em todos os pontos do intervalo aberto ( a , b ) . Note que o limite é válido para todo valor de x , tal que x ≠ - 4 .

Passo 3

Agora, lembra da reta tangente que falamos sobre lá no teorema? A relação dada no enunciado:

f ( b ) - f ( a ) = ( b - a ) f ' ( c )   →   f ' ( c )   =   f ( b ) - f ( a ) ( b - a )

nos dá exatamente a inclinação desta reta tangente no ponto c , a expressão no entanto só vale se as condições do teorema forem válidas, okay? Note que a fração ali é a inclinação da reta que passa pelos pontos A e B .

Passo 4

Utilizando o que achamos lá em cima no Passo 2 para f ' ( x ) , temos que:

f ' ( c )   =   c 2 + 8 c - 5 ( c + 4 ) 2

Nós temos também que:

f ( a )   =   f ( - 1 )   = ( - 1 ) 2 - 2 ( - 1 ) - 3 - 1 + 4 = 1 + 2 - 3 3 = 0

f ( b )   =   f ( 3 )   = ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) - 3 3 + 4 = 9 - 6 - 3 7 =   0

Ou seja:

c 2 + 8 c - 5 ( c + 4 ) 2 = 0 - 0 3 - ( - 1 )   =   0  

Isolando c , temos:

c   ≈ 0,58 ou c ≈ - 8,58

Apenas c ≈ 0,58 está no intervalo desejado, portanto esta é a nossa resposta!

Resposta

A resposta está no final do Passo 4.